2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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11. 如图，AD是△ABC的中线，AE = EF = FC，BE交AD于点G，则$\frac{BG}{BE}=$_____.
答案：$\frac{2}{3}$
12. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一条直线上，AE与CF交于点P，则$\frac{CP}{FP}=$_____.
答案：$\frac{3}{2}$
13. 如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE : AB = 1 : 3，设$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.
(1) 用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$分别表示下列向量：$\overrightarrow{AE}=$_____，$\overrightarrow{EC}=$_____，$\overrightarrow{EG}=$_____；
(2) 在图中求作向量$\overrightarrow{BG}$分别在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量.
答案：(1) $-\frac{1}{3}\vec{a}$；$\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b}$；$\frac{1}{4}(\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b})$ (2) 略
14. 如图，已知小明的身高是1.6 m，他在路灯AB下的影子长为2 m，此时小明距路灯灯杆的底部3 m，求灯杆AB的高度.
答案：4 m
15. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE = DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1) 求证：△BEC∽△BCH；
(2) 如果$BE^{2}=AB\cdot AE$，求证：AG = DF.
答案：(1) 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC = AD，∠B = ∠D，又BE = DF，所以△BEC≌△DFC（SAS），则∠BCE = ∠DCF，因为AD∥BC，所以∠H = ∠DCF，所以∠BCE = ∠H，又∠B = ∠B，所以△BEC∽△BCH.
(2) 证明：因为$BE^{2}=AB\cdot AE$，所以$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$，又∠B = ∠B，所以△BEC∽△BAE，所以∠BCE = ∠BAE，因为AD∥BC，所以∠BCE = ∠G，所以∠BAE = ∠G，又BE = DF，AB = AD，所以AG = DF.
