答案：（1）证明：
因为$AB\cdot AD = AC\cdot AE$，所以$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$。
又因为$\angle BAD = \angle CAE$，那么$\angle BAD + \angle DAC = \angle CAE + \angle DAC$，即$\angle BAC = \angle EAD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，$\angle BAC = \angle EAD$，所以$\triangle ABC\sim\triangle AED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）解：
因为$\triangle ABC\sim\triangle AED$，且$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ADE}=4:9$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知相似比为$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BC}{DE}=\frac{2}{3}$。
已知$BC = 6$，设$DE = x$，则$\frac{6}{x}=\frac{2}{3}$，解得$x = 9$，所以$DE = 9$。

答案：（1）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD\parallel BC$，$AD = BC$。
又因为$CE = 2BE$，所以$BC = BE + CE = BE + 2BE = 3BE$，则$AD = 3BE$。
因为$AD\parallel BC$，所以$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，那么$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$，将$AD = 3BE$代入可得$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{3BE}=\frac{1}{3}$。
（2）由（1）知$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，且相似比$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$S_{\triangle BEF}:S_{\triangle ADF}=(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。

答案：（1）证明：
因为$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADN\sim\triangle ABM$，$\triangle AEN\sim\triangle ACM$。
则$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$，$\frac{EN}{CM}=\frac{AN}{AM}$，所以$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$。
又因为点$M$是$BC$的中点，即$BM = CM$，所以$DN = EN$。
（2）因为$DE\parallel BC$，所以$\triangle DON\sim\triangle COM$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
由$\triangle DON\sim\triangle COM$可得$\frac{DE}{BC}=\frac{ON}{OM}=\frac{2}{5}$，设$\frac{DE}{BC}=k = \frac{2}{5}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=k^2=(\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$，设$S_{\triangle ADE}=4x$，则$S_{\triangle ABC}=25x$。
那么四边形$BCED$的面积为$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=25x - 4x = 21x$。
已知四边形$BCED$的面积为$42$，即$21x = 42$，解得$x = 2$，所以$S_{\triangle ABC}=25x = 50$。