2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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14. 已知$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$AD$和$A'D'$分别是$BC$和$B'C'$边上的高，且$AD = 4\text{ cm}$，$A'D'=6\text{ cm}$，$BE$是$\triangle ABC$的中线，$BE = 5\text{ cm}$，求$\triangle A'B'C'$中对应中线$B'E'$的长。
答案：因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以相似比$k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。又因为相似三角形对应中线的比等于相似比，设$B'E'=x\text{ cm}$，则$\frac{BE}{B'E'}=\frac{2}{3}$，即$\frac{5}{x}=\frac{2}{3}$，解得$x = 7.5\text{ cm}$，所以$B'E'$的长为$7.5\text{ cm}$。
15. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是边$AB$上一点。(1) 当$\angle ACD=\angle B$时，① 求证：$\triangle ABC\sim\triangle ACD$；② 若$AD = 1$，$BD = 3$，求$AC$的长；(2) 已知$AB=\sqrt{2}AC = 2AD$，若$CD = 2$，求$BC$的长。
答案：(1) ① 证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ACD$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ACD=\angle B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle ACD$。② 因为$AD = 1$，$BD = 3$，所以$AB=AD + BD=4$。由$\triangle ABC\sim\triangle ACD$可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AD\times AB = 1\times4 = 4$，所以$AC = 2$。(2) 设$AD=x$，则$AC=\sqrt{2}x$，$AB = 2x$。因为$\frac{AD}{AC}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}x}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，则$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。已知$CD = 2$，所以$BC = 2\sqrt{2}$。
16. 如图，$\triangle ABC$是一块锐角三角形余料，边$BC = 120\text{ mm}$，高$AD = 80\text{ mm}$，要把它加工成矩形零件，使一边在$BC$上，其余两个顶点分别在边$AB$、$AC$上。若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
答案：设正方形的边长为$x\text{ mm}$。因为四边形$PQMN$是正方形，所以$PQ\parallel BC$，则$\triangle APQ\sim\triangle ABC$。根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AD - x}{AD}=\frac{x}{BC}$，即$\frac{80 - x}{80}=\frac{x}{120}$，$120\times(80 - x)=80x$，$9600-120x = 80x$，$200x = 9600$，解得$x = 48\text{ mm}$，所以正方形的边长是$48\text{ mm}$。
17. 如图，已知直线$y =-\frac{1}{2}x + 2$与$x$轴交于点$A$、与$y$轴交于点$B$，在$x$轴上有一点$C$（不与点$A$重合），使$B$、$O$、$C$三点构成的三角形与$\triangle AOB$相似，求点$C$的坐标。
答案：对于直线$y =-\frac{1}{2}x + 2$，令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$；令$x = 0$，则$y = 2$，所以$B(0,2)$，则$OA = 4$，$OB = 2$。因为$\angle AOB=\angle BOC = 90^{\circ}$。当$\triangle AOB\sim\triangle BOC$时，$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2}{OC}$，解得$OC = 1$，此时$C(1,0)$或$C(-1,0)$；当$\triangle AOB\sim\triangle COB$时，$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OB}=1$，即$\frac{4}{OC}=1$，解得$OC = 4$，因为$C$不与$A$重合，所以舍去。综上，点$C$的坐标为$(1,0)$或$(-1,0)$。
