2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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13. 已知$\vec{a}=5\vec{c}$，$\vec{b}=-\frac{1}{2}\vec{c}$，试判别向量$\vec{a}$与$\vec{b}$是否平行，若平行是同向平行还是反向平行？
答案：因为$\vec{a}=5\vec{c}$，$\vec{b}=-\frac{1}{2}\vec{c}$，则$\vec{a} = - 10\vec{b}$。根据平行向量定理，存在实数$-10$，使得$\vec{a}$与$\vec{b}$满足$\vec{a}=m\vec{b}$（$m = - 10$），所以$\vec{a}$与$\vec{b}$平行，又因为$m=-10\lt0$，所以$\vec{a}$与$\vec{b}$是反向平行。
14. 设向量$\vec{a}$、$\vec{b}$且$2(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}+\vec{b}$，试判别向量$\vec{a}$与$\vec{b}$是否平行？
答案：由$2(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}+\vec{b}$，展开可得$2\vec{a}-2\vec{b}=\vec{a}+\vec{b}$，移项可得$2\vec{a}-\vec{a}=\vec{b} + 2\vec{b}$，即$\vec{a}=3\vec{b}$。根据平行向量定理，存在实数$3$，使得$\vec{a}$与$\vec{b}$满足$\vec{a}=m\vec{b}$（$m = 3$），所以$\vec{a}$与$\vec{b}$平行。
15. 如图，在$\triangle ABC$中，线段$DE$是中位线，用向量的方法证明：$DE=\frac{1}{2}BC$且$DE\parallel BC$。
答案：因为$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。根据平行向量定理，存在实数$\frac{1}{2}$，使得$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{BC}$满足$\overrightarrow{DE}=m\overrightarrow{BC}$（$m = \frac{1}{2}$），所以$\overrightarrow{DE}\parallel\overrightarrow{BC}$，且$\vert\overrightarrow{DE}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{BC}\vert$，即$DE = \frac{1}{2}BC$且$DE\parallel BC$。
16. 如图，已知$E$是平行四边形$ABCD$对角线$DB$延长线上的一点，$F$是对角线$BD$延长线上的一点，且$BE = DF$，连接$AE$、$CE$、$AF$、$CF$。求证：四边形$AECF$是平行四边形（用向量的方法解）。
答案：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$，又因为$BE = DF$，且$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$，由于$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}$，则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CF}$。根据平行向量定理，$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{CF}$平行且相等，所以四边形$AECF$是平行四边形。
