2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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10. 如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交AC于E，DF∥AC，交BC于F。已知AD：DB = 1：2，则△ADE、△DBF、平行四边形DFCE的面积之比为（ ）
A. 1：4：4
B. 1：4：5
C. 1：4：6
D. 1：4：9
答案：因为DE∥BC，DF∥AC，所以△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC。
由于AD：DB = 1：2，则AD：AB = 1：3，DB：AB = 2：3。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得S_{△ADE}：S_{△ABC}=1^{2}：3^{2}=1：9，S_{△DBF}：S_{△ABC}=2^{2}：3^{2}=4：9。
设S_{△ADE}=x，则S_{△ABC}=9x，S_{△DBF}=4x，那么平行四边形DFCE的面积为9x - x - 4x = 4x。
所以△ADE、△DBF、平行四边形DFCE的面积之比为1：4：4，答案是A。
11. Rt△ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB于点D，如果AD = 8，BD = 2，求△ACD与△BCD的周长的比值。
答案：因为∠C = 90°，CD⊥AB，所以∠ACD+∠BCD = 90°，∠B+∠BCD = 90°，则∠ACD = ∠B。
又因为∠ADC = ∠BDC = 90°，所以△ACD∽△CBD。
根据相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比。
由射影定理可得CD^{2}=AD×BD = 8×2 = 16，所以CD = 4。
则相似比$\frac{AD}{CD}=\frac{8}{4}=2$，所以△ACD与△BCD的周长的比值为2。
12. 如图，矩形ABCD中，M是边BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，AB = 4，BC = 6，求DE的长。
答案：因为矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，M是BC中点，所以BM = $\frac{1}{2}BC = 3$。
在Rt△ABM中，根据勾股定理可得AM = $\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
因为AD∥BC，所以∠DAM = ∠AMB，又因为∠DEA = ∠ABM = 90°，所以△DEA∽△ABM。
则$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AM}$，AD = BC = 6，AB = 4，AM = 5，即$\frac{DE}{4}=\frac{6}{5}$，解得DE = $\frac{24}{5}$。
