2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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9. 下一个等腰梯形纸片，如图所示.若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的$\frac{1}{8}$，则剪去等腰三角形纸片的腰长为________.
答案：题目信息不全，无法解答
10. 如图，已知$\triangle ABC$的两条中线$AD、BE$相交于点$G$，过点$D$作$AC$的平行线交$BE$于点$F$，若$\triangle DFG$的面积为1，则$\triangle AEG$的面积为________.
答案：4
11. 如图，在$\triangle ABC$中，$D、F$是$AB$的三等分点，$DE\parallel FG\parallel BC$，若$DE = 2$，则$BC=________.
答案：6
12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）$AB$经小孔$O$在屏幕（竖直放置）上成像$A'B'$.设$AB = 36\text{ cm}$，$A'B'=24\text{ cm}$.小孔$O$到$AB$的距离为30 cm，则小孔$O$到$A'B'$的距离为________$\text{cm}". "a":"20
答案：
13. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，$AE\perp BC$于点$E$，$AF\perp DC$于点$F$.当$AB = 2$，$AD = 3$，$BE = 1$时，求$CF$的长.
答案：1. 首先，在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理：
- 已知$AB = 2$，$BE = 1$，由勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle B=\angle D$，$AB = CD = 2$，$AD = BC = 3$.
- 又因为$AE\perp BC$，$AF\perp DC$，所以$\triangle ABE\sim\triangle ADF$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle AEB=\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle D$）.
2. 然后，根据相似三角形的性质：
- 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DF}$.
- 已知$AB = 2$，$AD = 3$，$BE = 1$，代入可得$\frac{2}{3}=\frac{1}{DF}$，解得$DF = \frac{3}{2}$.
3. 最后，求$CF$的长：
- 因为$CF=CD - DF$，$CD = 2$，$DF=\frac{3}{2}$，所以$CF=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
14. 如图，在$\triangle ABC$中，$BA = BC = 20\text{ cm}$，$AC = 30\text{ cm}$，点$P$从点$A$出发，沿着$AB$以每秒4 cm的速度向点$B$运动；同时点$Q$从点$C$出发，沿$CA$以每秒3 cm的速度向点$A$运动，设运动时间为$x\text{ s}$.（1）当$x$为何值时，$PQ\parallel BC$？（2）$\triangle APQ$能否与$\triangle CQB$相似？若能，求出时间$x$的值；若不能，说明理由.
答案：（1）
- 因为$PQ\parallel BC$，所以$\triangle APQ\sim\triangle ABC$.
- 此时$AP = 4x$，$CQ = 3x$，则$AQ=30 - 3x$.
- 由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{30}$.
- 交叉 - 相乘得：$4x\times30=20\times(30 - 3x)$.
- 展开式子：$120x = 600-60x$.
- 移项得：$120x + 60x=600$，即$180x = 600$，解得$x = \frac{10}{3}$.
（2）能.
- 情况一：若$\triangle APQ\sim\triangle CQB$，则$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$.
- 已知$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$，$CB = 20$，代入可得$\frac{4x}{3x}=\frac{30 - 3x}{20}$（$x\neq0$），$\frac{4}{3}=\frac{30 - 3x}{20}$，交叉 - 相乘得$4\times20 = 3\times(30 - 3x)$，$80=90 - 9x$，$9x = 10$，解得$x = \frac{10}{9}$.
- 情况二：若$\triangle APQ\sim\triangle CBQ$，则$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$.
- 把$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$，$CB = 20$代入可得$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{3x}$.
- 交叉 - 相乘得：$4x\times3x=20\times(30 - 3x)$.
- 即$12x^{2}=600 - 60x$，$x^{2}+5x - 50 = 0$.
- 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 1$，$b = 5$，$c=-50$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\times1\times(-50)}}{2\times1}=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 200}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-5\pm15}{2}$.
- 解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-10$（时间不能为负，舍去）。
- 综上，当$x = \frac{10}{9}$或$x = 5$时，$\triangle APQ$与$\triangle CQB$相似.
