21. 设关于x的一元二次方程2x²－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝

⑴求f(α)·f(β)的值；⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；

(3)当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？

解：⑴ f(α)f(β)＝－4

⑵设α≤x₁<x₂≤β，f(x₁)－f(x₂)＝ 17. 已知函数的定义域为，值域为．试求函数()的最小正周期和最值

解： ……2’

…………………………4’

当＞0时，，

解得，………………………………………………………………6’

从而， ，

T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’

当m＜0时， 解得，………………………………………………10’

从而，，T=，最大值为，

最小值为．……………………………………………………………………12

20. 已知集合，试问集合A与B共有几个相同的元素，并写出由这些“相同元素”组成的集合.

解：因为，所以，

因为，所以，

所以A、B有两个公共元素，由这些“相同元素”组成的集合是{1，9}.

19. 已知函数：．

　 (1)证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；

　 (2)当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；

　 (3)设函数g(x)=x²+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．

解(1)证明：

．

∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’

(2)证明：

当，，

　，，

∴．

　　 即．………………………………………………………………8’

(3)　

①当．

如果　 即时，则函数在上单调递增，

∴ ．

如果．

当时，最小值不存在．……………………………………………………10’

②当 ，　

如果．

如果．

当．

．……………………………………………12’

综合得：当时， g(x)最小值是；当时， g(x)最小值是 ；当时， g(x)最小值为；当时， g(x)最小值不存在．

22.已知函数f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：-＜a＜

若x∈［0,1］,函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件

解：(1)设任意不同的两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

则＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)当x∈［0,1］时，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由题意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即对于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等价于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值满足

或　 或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即 或 　或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要条件是1≤a≤

20.已知函数f(x)=x⁴－4x³+ax²－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2)上单调递减.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若点A(x₀,f(x₀))在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

(Ⅲ)是否存在实数b，使得函数g(x)=bx²－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

解：(Ⅰ)由函数f(x)=x⁴－4x³+ax²－1，在区间［0，1)上单调递增，在区间［1，2)上单调递减，

∴x=1时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0.　　　　　　 2分

f′(x)=4x³－12x²+2ax, ∴4－12+2a=0a=4.　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)点A(x₀,f(x₀))关于x=1的对称点B坐标为(2－x₀,f(x₀)),　　　　　 6分

f(2－x₀)=(2－x₀)⁴－4(2－x₀)³+4(2－x₀)²－1=(2－x₀)²［(2－x₀)－2］²－1

=x₀⁴－4x₀³+4x₀²－1=f(x₀).　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.　　　　　　　 9分

(Ⅲ)函数g(x)=bx²－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1恰有3个不等实根，　　 　　　　　　　　　　 　 10分

x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1x⁴－4x³+(4－b)x²=0.

∵x=0是其中一个根，

∴方程x²－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根.　　　　　　　 　 12分

∴∴b＞0且b≠4.　　　　　　　 　 14分

19.已知偶函数f (x)，对任意x₁，x₂∈R，恒有：．

(1)求f (0)，f (1)，f (2)的值；

(2)求f (x)；

(3)判断在(0，+∞)上的单调性

解：(1) f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；

　　　 (2)，

　　　　　　 又，f (0) = -1，故；

　　　 (3)．用定义可证明在［，+∞)上是增函数，

在(0，］上为减函数

18.在△ABC中，已知.(I)若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；　 (II)求的最大值.

解：(I)∵

，

　　　 ∴ 任意交换的位置，的值不会发生变化．

　　　 (II)将看作是关于的二次函数.

.

所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值．

也可有如下简单解法：

19. 已知函数：．

　 (1)证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；

　 (2)当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；

　 (3)设函数g(x)=x²+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值

解(1)证明：

．

∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’

(2)证明：

当，，

　，，

∴．

　　 即．………………………………………………………………8’

(3)　

①当．

如果　 即时，则函数在上单调递增，

∴ ．

如果．

当时，最小值不存在．……………………………………………………10’

②当 ，　

如果．

如果．

当．

．……………………………………………12’

综合得：当时， g(x)最小值是；当时， g(x)最小值是 ；当时， g(x)最小值为；当时， g(x)最小值不存在．

17. 已知函数的定义域为，值域为．试求函数()的最小正周期和最值

解： ……2’

…………………………4’

当＞0时，，

解得，………………………………………………………………6’

从而， ，

T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’

当m＜0时， 解得，………………………………………………10’

从而，，T=，最大值为，

最小值为．……………………………………………………………………12

15. 若直线y=2a与函数y=|a^x-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_ ______.