22.已知函数f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：-＜a＜

若x∈［0,1］,函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件

解：(1)设任意不同的两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

则＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)当x∈［0,1］时，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由题意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即对于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等价于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值满足

或　 或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即 或 　或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要条件是1≤a≤