《2025年点石成金金牌夺冠九年级数学全一册人教版辽宁专版》

18. (10分)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量$y$(单位：千克)和每千克的售价$x$(单位：元)满足如图所示的一次函数关系，其中$50\leq x\leq80$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)若该种商品的成本是每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 18.解:
(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y = kx + b$。
将$(50,100),(80,40)$代入，
得$\begin{cases}50k + b = 100\\80k + b = 40\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 200\end{cases}$
$\therefore y = - 2x + 200(50 \leq x \leq 80)$。
(2)设电商每天获得的利润是$w$元，则$w = (x - 40)( - 2x + 200) = - 2x^2 + 280x - 8000 = - 2(x - 70)^2 + 1800$。
$\because - 2 ＜ 0$，$50 \leq x \leq 80$，
$\therefore$当$x = 70$时，$w$有最大值，最大值是$1800$。
答:当该商品售价是每千克$70$元时，该电商每天可以获得最大利润，最大利润是$1800$元。

19. (12分)如图，抛物线$y=ax^2+bx-4a$经过$A(-1,0)$，$C(0,4)$两点，与$x$轴的另一个交点是点$B$.
(1)

求

抛物线对应的函数解析式.
(2)已知点$D(m,m+1)$在第一象限的抛物线上，求点$D$关于$BC$的对称点$D'$的坐标.

答案：
19.解:
(1)将点$A( - 1,0),C(0,4)$代入$y = ax^2 + bx - 4a$，
得$\begin{cases}a - b - 4a = 0\\ - 4a = 4\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 1\\b = 3\end{cases}$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = - x^2 + 3x + 4$。
(2)将点$D(m,m + 1)$代入$y = - x^2 + 3x + 4$，
得$m + 1 = - m^2 + 3m + 4$。
解得$m_1 = 3,m_2 = - 1$(不合题意，舍去)。
$\therefore$点$D$的坐标是$(3,4)$。
如图，连接$CD$，作点$D$关于$BC$的对称点$D'$，连接$DD'$。
$\because$点$C(0,4)$，$\therefore DC // x$轴，$CD = 3$。
令$y = 0$，即$- x^2 + 3x + 4 = 0$。
解得$x_1 = - 1,x_2 = 4$。
$\therefore$点$B(4,0)$。$\therefore OC = OB = 4$。
$\therefore \angle OCB = \angle OBC = \angle DCB = 45^{\circ}$。
$\therefore$点$D'$在$y$轴上。
$\therefore CD' = CD = 3$。$\therefore OD' = 1$。
$\therefore$点$D$关于$BC$的对称点$D'$的坐标是$(0,1)$。