《2025年点石成金金牌夺冠九年级数学全一册人教版辽宁专版》

10. 若二次函数$ y = ax^2 + bx + c $的图象如图所示，则下列结论错误的是（D）


A.$ abc \gt 0 $
B.函数的最大值是$ a - b + c $
C.当$ x = -3 $时，$ y = 0 $
D.$ 4a - 2b + c \lt 0 $
![第10题图]

答案： 10.D　[解析]由图象可得$a＜0$，$c＞0$.
①
∵该二次函数图象的对称轴是直线$x=-1$，
∴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
∴$b=2a$.
∴$b＜0$，
∴$abc＞0$.故A正确；
②由图象可得，当$x=-1$时，$y$有最大值.
将$x=-1$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$y=a-b+c$，
即函数的最大值是$a-b+c$.故B正确；
③
∵二次函数图象的对称轴是直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点是$(1,0)$，
∴与$x$轴的另一个交点是$(-3,0)$.
∴当$x=-3$时，$y=0$.故C正确；
④由图象可得，当$x=-2$时，$y=4a-2b+c＞0$.故D错误.

11. 若二次函数$ y = (k + 2)x^2 $的图象如图所示，则$ k $的取值范围是$k＞-2$。

答案： 11.$k＞-2$

12. 若抛物线$ y = x^2 - 3x + ax + 2 $的对称轴是$ y $轴，则$ a $的值是3。

答案： 12.3

13. 若抛物线$ y = (k - 1)x^2 - x + 1 $与$ x $轴有公共点，则$ k $的取值范围是$k\leq\frac{5}{4}$且$k≠1$。

答案： 13.$k\leq\frac{5}{4}$且$k≠1$

14. 如图，九年级（1）班的劳动实践基地位于L形围墙的内侧。已知$ \angle ABC = 90° $，墙$ AB $的长是$ 7 \, m $，墙$ BC $的长是$ 3 \, m $。同学们准备用$ 10 \, m $长的围栏，在劳动实践基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙，围栏可不使用完），则他们能围出的矩形菜地的最大面积是21$ m^2 $。

答案： 14.21

15. 抛物线$ C_1: y = x^2 - 2x - 3 $与$ x $轴交于点$ A $，$ B $（点$ A $在点$ B $的左侧），将抛物线$ C_1 $向右平移$ m (m \gt 0) $个单位长度后得到抛物线$ C_2 $，抛物线$ C_2 $与$ x $轴交于点$ C $，$ D $（点$ C $在点$ D $的左侧），抛物线$ C_1 $与抛物线$ C_2 $相交于点$ E $，连接$ AE $，$ DE $。若$ \angle AED = 90° $，则$ m $的值是2或6。

答案：
15.2或6　[解析]易得点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(-1+m,0)$，$D(3+m,0)$.
①如图1，当点$E$在$x$轴下方时，过点$E$作$EF⊥x$轴于点$F$.
由抛物线的对称性可得$AE=DE$.
∵$∠AED=90^{\circ}$，
∴$△AED$是等腰直角三角形.
∴点$F$是$AD$的中点.
∴$EF=AF=\frac{1}{2}AD$.
∵$AD=3+m-(-1)=4+m$，
∴$EF=AF=\frac{4+m}{2}$.
∴$OF=AF - OA=\frac{2+m}{2}$.
∴点$E(\frac{2+m}{2},-\frac{4+m}{2})$.
∵点$E$在抛物线$y=x^{2}-2x-3$上，
∴将点$E(\frac{2+m}{2},-\frac{4+m}{2})$代入$y=x^{2}-2x-3$，
得$(\frac{2+m}{2})^{2}-2×\frac{2+m}{2}-3=-\frac{4+m}{2}$.
解得$m_1=2$，$m_2=-4$(不合题意，舍去).

②如图2，当点$E$在$x$轴上方时，过点$E$作$EF⊥x$轴于点$F$.
同理①可得点$E(\frac{2+m}{2},\frac{4+m}{2})$.
将点$E(\frac{2+m}{2},\frac{4+m}{2})$代入$y=x^{2}-2x-3$，
得$(\frac{2+m}{2})^{2}-2×\frac{2+m}{2}-3=\frac{4+m}{2}$.
解得$m_1=6$，$m_2=-4$(不合题意，舍去).

综上所述，$m$的值是2或6.

16. （10分）已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + x - m = 0 $。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求$ m $的取值范围。
（2）二次函数$ y = x^2 + x - m $的图象如图所示，求一元二次方程$ x^2 + x - m = 0 $的解。

答案： 16.解：
(1)
∵$\Delta=1+4m＞0$，
∴$m＞-\frac{1}{4}$.
(2)由图象可知$x^{2}+x - m=0$的一个根是$x=1$，
∴$1^{2}+1 - m=0$.
∴$m=2$，即一元二次方程为$x^{2}+x - 2=0$.
解得$x_1=1$，$x_2=-2$.
∴一元二次方程$x^{2}+x - m=0$的解是$x_1=1$，$x_2=-2$.

17. （10分）◆2024·辽宁模拟◆ 某校公益社团准备购进一种特产进行销售，并将所得利润全部用于开展公益活动。已知该特产每袋进价是20元，试销售期间发现，日销售量$ y $（单位：袋）与每袋的售价$ x $（单位：元）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表所示，其中$ 20 \leq x \leq 50 $，且$ x $是整数。

（1）求$ y $关于$ x $的函数解析式。
（2）在销售过程中，当每袋售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

答案： 17.解：
(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b$.
将$(25,50)$，$(30,40)$代入，
得$\begin{cases}25k + b = 50\\30k + b = 40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 100\end{cases}$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x + 100(20\leq x\leq50$，且$x$是整数).
(2)设日销售利润为$w$元.
根据题意，得$w=(x - 20)(-2x + 100)=-2x^{2}+140x - 2000=-2(x - 35)^{2}+450$.
∵$-2＜0$，
∴抛物线开口向下.
∵$20\leq x\leq50$，
∴当$x = 35$时，$w$有最大值，最大值是450.
答：当每袋售价为35元时，日销售利润最大，最大利润是450元.