《2025年单元质量达标八年级数学上册人教版》

20. （10分）下面是证明“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的方法，请选择其中一种，完成证明。
已知：如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点。
求证：∠ACD=∠A+∠B。

答案：
20.解:
(1)
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°−(∠A+∠B)。
　　又∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACB=180°−∠ACD。
∴180°−(∠A+∠B)=180°−∠ACD。
∴∠ACD=∠A+∠B。
(2)如图，过点C作CE//AB。
　　
∴∠ACE=∠A,∠ECD=∠B。
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B。

21. (12分)
【问题发现】如图(1)，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB。
(1)若∠A=70°，则∠BEC=125°。
(2)若∠A=n°，则∠BEC=90°+$\frac{1}{2}n°$。
【类比探究】
(3)如图(2)，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB。若∠A=n°，则∠BEC的度数是多少？

答案： 21.
(1)125°　
(2)90°+$\frac{1}{2}n°$
(3)解:
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ECB=$\frac{2}{3}$∠ACB,∠EBC=$\frac{2}{3}$∠ABC。
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{2}{3}$(180°−∠A)。
∴∠BEC=180°−$\frac{2}{3}$(180°−∠A)=60°+$\frac{2}{3}$∠A。
　　　若∠A=n°，则∠BEC=(60+$\frac{2}{3}n$)°。