《2025年单元质量达标八年级数学上册人教版》

20. （9分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB = 3 cm，AC = 4 cm，BC = 5 cm，∠CAB = 90°，求：
（1）△ABC的面积；
（2）AD的长度；
（3）△ACE和△ABE的周长的差。

答案： 20.解:
(1)
∵∠BAC = 90°,AB = 3 cm,AC = 4 cm,
　
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·AC = $\frac{1}{2}$×3×4 = 6 (cm²)。
(2)
∵∠BAC = 90°，AD是边BC上的高，BC = 5 cm,
　
∴$\frac{1}{2}$AB·AC = $\frac{1}{2}$BC·AD。
　
∴AD = $\frac{AB·AC}{BC}$ = $\frac{3×4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ (cm)，即AD的长度为$\frac{12}{5}$ cm.
(3)
∵AE为BC边上的中线，
　
∴BE = CE。
　
∴△ACE和△ABE的周长的差 = AC + AE + CE−(AB + BE + AE) = AC−AB = 4−3 = 1 (cm)。
　
∴△ACE和△ABE的周长的差是1 cm。

21. （12分）探究题。
（1）如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点。求证：∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
（2）如图（2），O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系，并说明理由。
（3）如图（3），O是∠DBC与∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论）

答案： 21.解:
(1)证明:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)。
　　又∠ABC + ∠ACB = 180°−∠A,
∴∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(180°−∠A) = 90°−$\frac{1}{2}$∠A。
∴∠BOC = 180°−(∠1 + ∠2) = 180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A) = 90°+$\frac{1}{2}$∠A。
(2)∠BOC = $\frac{1}{2}$∠A.
　　　理由:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
　
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD.
　　　　又∠ACD是△ABC的外角，
　
∴∠ACD = ∠A + ∠ABC
　
∴∠OCD = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A + ∠OBC。
　
∵∠OCD是△BOC的外角，
　
∴∠BOC = ∠OCD−∠OBC = $\frac{1}{2}$∠A + ∠OBC−∠OBC = $\frac{1}{2}$∠A。
(3)∠BOC = 90°−$\frac{1}{2}$∠A.