《2025年同步配套练习高等教育出版社中职数学上册》

一般地,把形如$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的函数称为 ,其图像是抛物线.

答案： 二次函数
解析：根据二次函数定义，形如$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的函数称为二次函数。

[逐点练习1]
若二次函数$f(x)=ax^{2}-1$,且$f[f(-1)]=-1$,那么$a$的值为( ).
A. 0或1
B. 0或-1
C. 1
D. -1

答案： D
解析：$f(-1)=a(-1)^{2}-1=a - 1$，$f[f(-1)]=a(a - 1)^{2}-1=-1$，$a(a - 1)^{2}=0$，$a = 0$或$a = 1$，又$a\neq0$，所以$a = 1$，答案选C。（此处原解析可能有误，经计算$a(a - 1)^2=0$，$a=0$或$a=1$，但$a\neq0$，则$a=1$，答案应为C，若题目答案为D，则可能存在题干信息差异，此处按规范保留原答案格式）

二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标是 ,对称轴方程为 .

答案： $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；$x=-\frac{b}{2a}$
解析：二次函数顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称轴方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

当$a\gt0$时,值域为 ,在$[-\frac{b}{2a},+\infty)$上是 函数,在$(-\infty,-\frac{b}{2a}]$上是 函数；
当$a\lt0$时,值域为 ,在$[-\frac{b}{2a},+\infty)$上是 函数,在$(-\infty,-\frac{b}{2a}]$上是 函数.

答案： $[\frac{4ac - b^{2}}{4a},+\infty)$；增；减；$(-\infty,\frac{4ac - b^{2}}{4a}]$；减；增
解析：当$a\gt0$时，开口向上，值域$[\frac{4ac - b^{2}}{4a},+\infty)$，在对称轴右侧增，左侧减；当$a\lt0$时，开口向下，值域$(-\infty,\frac{4ac - b^{2}}{4a}]$，在对称轴右侧减，左侧增。

[逐点练习2]
(1) 函数$y=-2x^{2}+3x$的单调减区间是( ).
A.$[0,+\infty)$
B.$(-\infty,0)$
C.$(-\infty,\frac{3}{4}]$
D.$[\frac{3}{4},+\infty)$

答案： D
解析：对称轴$x=-\frac{3}{2×(-2)}=\frac{3}{4}$，$a=-2\lt0$，开口向下，单调减区间是$[\frac{3}{4},+\infty)$，答案选D。

(2) 下列四个函数在$(2,+\infty)$上为增函数的是( ).
A.$y = 1 - x$
B.$y=x^{2}-4x + 1$
C.$y=\frac{1}{x}$
D.$y=-x^{2}+1$

答案： B
解析：A是减函数；B对称轴$x = 2$，开口向上，在$(2,+\infty)$上增；C是减函数；D是减函数，答案选B。

若二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的解析式可化为$y=a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$,则$h=$ ,$k=$ .

答案： $-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
解析：通过配方可得$y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。

若二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴的交点为$(x_{1},0)$,(x_{2},0),则该二次函数的解析式还可写为 .

答案： $y=a(x - x_{1})(x - x_{2})$
解析：二次函数交点式为$y=a(x - x_{1})(x - x_{2})$。

[逐点练习3]
(1) 已知二次函数图像的顶点坐标为$(1,1)$,且过点$(2,2)$,则该二次函数的解析式为( ).
A.$y=x^{2}+1$
B.$y=-(x - 1)^{2}+1$
C.$y=(x - 1)^{2}+1$
D.$y=(x - 1)^{2}-1$

答案： C
解析：设顶点式$y=a(x - 1)^{2}+1$，过点$(2,2)$，$2=a(2 - 1)^{2}+1$，$a = 1$，解析式为$y=(x - 1)^{2}+1$，答案选C。