《2025年同步配套练习高等教育出版社中职数学上册》

2. 已知函数$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上为奇函数,当$ x\gt0 $时,$ f(x)=x(1 - x) $,则$ x\lt0 $时,$ f(x)= $______.

答案： $ x(1 + x) $
解析：设$ x\lt0 $，则$ -x\gt0 $，$ f(-x)=-x(1 - (-x))=-x(1 + x) $。因为$ f(x) $是奇函数，所以$ f(x)=-f(-x)=x(1 + x) $。

3. 已知函数$ f(x)=ax + b $在$ \mathbf{R} $上为奇函数,且$ f(1)=2 $.
（1）求$ a,b $;
（2）用函数单调性的定义证明$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上是增函数.

答案： （1）$ a=2 $，$ b=0 $
解析：因为$ f(x) $是奇函数，所以$ f(0)=0 $，即$ b=0 $。又$ f(1)=a + 0=2 $，所以$ a=2 $。
（2）证明：$ f(x)=2x $，任取$ x_{1},x_{2}\in\mathbf{R} $，且$ x_{1}\lt x_{2} $，$ f(x_{1})-f(x_{2})=2x_{1}-2x_{2}=2(x_{1}-x_{2})\lt0 $，所以$ f(x_{1})\lt f(x_{2}) $，即$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上是增函数。

y=kx+b(k,b为常数,k≠0)是______函数.特别地,当b=0时,y=kx(k≠0),这时称y是x的______函数.

答案： 一次 正比例

（1）下列说法正确的是（ ）.
A. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数是一次函数
C. 正比例函数不是一次函数
D. 不是正比例函数就不是一次函数

答案： B
解析：正比例函数是特殊的一次函数（b=0的情况），所以正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数，故选B。

（2）下列函数①$ y=2x - 1 $,②$ y=|3 - x| $,③$ y=\frac{1}{x - 3} $,④$ y=-\frac{2x}{3} $是一次函数的是______（填序号）.

答案： ①④
解析：①是一次函数；②含有绝对值，不是一次函数；③是分式函数，不是一次函数；④是正比例函数，属于一次函数，所以填①④。