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22.(9分)将抛物线$y=-x^{2}$平移后得到的抛物线如图所示,其对称轴为$x=1$,与$x$轴的一个交点为$A(-1,0)$,另一交点为$B$,与$y$轴交点为$C$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$N$为抛物线上一点,且$BC\perp NC$,求点$N$的坐标.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$N$为抛物线上一点,且$BC\perp NC$,求点$N$的坐标.
答案：
1. （1）求抛物线的解析式：
设平移后抛物线的解析式为$y = -x^{2}+bx + c$。
已知对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，对于$y=-x^{2}+bx + c$，$a=-1$，因为对称轴$x = 1$，由$x=-\frac{b}{2a}=1$，$a=-1$，可得$-\frac{b}{2×(-1)} = 1$，解得$b = 2$。
又因为抛物线过点$A(-1,0)$，把$x=-1$，$y = 0$，$b = 2$代入$y=-x^{2}+bx + c$中，得$-(-1)^{2}+2×(-1)+c = 0$。
即$-1 - 2 + c = 0$，解得$c = 3$。
所以抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
2. （2）求点$N$的坐标：
先求$B$、$C$两点坐标：
令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3 = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，因为$A(-1,0)$，所以$B(3,0)$。
令$x = 0$，则$y = 3$，所以$C(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx + n$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入$y=mx + n$得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，将$n = 3$代入$3m + n = 0$得$3m+3 = 0$，解得$m=-1$，所以直线$BC$的解析式为$y=-x + 3$。
因为$BC\perp NC$，两垂直直线斜率之积为$-1$，设直线$NC$的解析式为$y = x + p$，把$C(0,3)$代入$y = x + p$得$p = 3$，所以直线$NC$的解析式为$y=x + 3$。
联立$\begin{cases}y=-x^{2}+2x + 3\\y=x + 3\end{cases}$，将$y=x + 3$代入$y=-x^{2}+2x + 3$得：
$x + 3=-x^{2}+2x + 3$。
移项得$x^{2}-x = 0$，因式分解得$x(x - 1)=0$。
解得$x_{1}=0$（$C$点横坐标，舍去），$x_{2}=1$。
当$x = 1$时，$y=x + 3=4$。
所以（1）抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$；（2）点$N$的坐标为$(1,4)$。
设平移后抛物线的解析式为$y = -x^{2}+bx + c$。
已知对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，对于$y=-x^{2}+bx + c$，$a=-1$，因为对称轴$x = 1$，由$x=-\frac{b}{2a}=1$，$a=-1$，可得$-\frac{b}{2×(-1)} = 1$，解得$b = 2$。
又因为抛物线过点$A(-1,0)$，把$x=-1$，$y = 0$，$b = 2$代入$y=-x^{2}+bx + c$中，得$-(-1)^{2}+2×(-1)+c = 0$。
即$-1 - 2 + c = 0$，解得$c = 3$。
所以抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
2. （2）求点$N$的坐标：
先求$B$、$C$两点坐标：
令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3 = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，因为$A(-1,0)$，所以$B(3,0)$。
令$x = 0$，则$y = 3$，所以$C(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx + n$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入$y=mx + n$得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，将$n = 3$代入$3m + n = 0$得$3m+3 = 0$，解得$m=-1$，所以直线$BC$的解析式为$y=-x + 3$。
因为$BC\perp NC$，两垂直直线斜率之积为$-1$，设直线$NC$的解析式为$y = x + p$，把$C(0,3)$代入$y = x + p$得$p = 3$，所以直线$NC$的解析式为$y=x + 3$。
联立$\begin{cases}y=-x^{2}+2x + 3\\y=x + 3\end{cases}$，将$y=x + 3$代入$y=-x^{2}+2x + 3$得：
$x + 3=-x^{2}+2x + 3$。
移项得$x^{2}-x = 0$，因式分解得$x(x - 1)=0$。
解得$x_{1}=0$（$C$点横坐标，舍去），$x_{2}=1$。
当$x = 1$时，$y=x + 3=4$。
所以（1）抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$；（2）点$N$的坐标为$(1,4)$。
23.(10分)加强劳动教育,落实五育并举.某中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中$1000\ m^{2}$的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本$y$(单位:元/$m^{2}$)与其种植面积$x$(单位:$m^{2}$)的函数关系如图所示,其中$200\leq x\leq700$,乙种蔬菜的种植成本为$50$元/$m^{2}$.
(1)当$x$为多少$m^{2}$时,$y$是$35$元/$m^{2}$；
(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为$W$元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使$W$最小?
(1)当$x$为多少$m^{2}$时,$y$是$35$元/$m^{2}$；
(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为$W$元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使$W$最小?
答案：
1. （1）
设$y = kx + b$（$200\leq x\leq700$），将$(200,60)$，$(700,45)$代入$y = kx + b$得：
$\begin{cases}200k + b = 60\\700k + b = 45\end{cases}$。
用$700k + b = 45$减去$200k + b = 60$，即$(700k + b)-(200k + b)=45 - 60$。
展开得$700k + b-200k - b=-15$，化简得$500k=-15$，解得$k=-\frac{3}{100}$。
把$k = -\frac{3}{100}$代入$200k + b = 60$，得$200×(-\frac{3}{100})+b = 60$，即$-6 + b = 60$，解得$b = 66$。
所以$y=-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$。
当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x + 66$。
移项得$\frac{3}{100}x = 66 - 35$，即$\frac{3}{100}x = 31$，解得$x=\frac{3100}{3}\approx1033.3$（舍去，不在$200\leq x\leq700$范围内）；
当$x\lt200$时，$y = 60$（不符合$y = 35$）；
当$x\gt700$时，$y = 45$（不符合$y = 35$）。
重新检查：
设$y$与$x$的关系式为$y=\begin{cases}60(0\leq x\lt200)\\-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)\\45(x\gt700)\end{cases}$，令$y = 35$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{3100}{3}$（错误），发现前面设错，重新设$y=kx + b$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$k=\frac{45 - 60}{700 - 200}=\frac{-15}{500}=-\frac{3}{100}$，$y=-\frac{3}{100}x+66$，当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{3100}{3}$（错误），应该是$y =-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}=\frac{3100}{3}$（错误），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$时，$-\frac{3}{100}x+35 = 66$，$-\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}=\frac{3100}{3}$（错误），重新：
$y =-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，则$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不对），正确：
因为$y =-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，错误），重新：
设$y$与$x$的关系式为$y = mx + n$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$m=\frac{45 - 60}{700 - 200}=-\frac{3}{100}$，$y=-\frac{3}{100}x+66$，当$y = 35$时，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），发现$y$的取值范围，当$x = 700$，$y = 45$，当$x$增大，$y$减小，所以$y = 35$时，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y =-\frac{3}{100}x+66$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，不对），重新：
设$y$与$x$的关系式$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
因为$y =-\frac{3}{100}x + 66$，$y = 35$，则$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（代入$y=-\frac{3}{100}×700+66 = 45$，不对），发现$y$的表达式错误，重新设：
设$y$与$x$的关系式为$y=kx + b$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$k=\frac{45 - 60}{700 - 200}=-\frac{3}{100}$，$b=y - kx$，取$x = 200$，$y = 60$，$b=60-(-\frac{3}{100})×200=60 + 6 = 66$，$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y = 45$，不对），发现题目中$y$的图象，当$x = 700$，$y = 45$，当$x$在$200\leq x\leq700$，$y$从$60$降到$45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$x = 700$（因为$y$是一次函数，$k=-\frac{3}{100}\lt0$，$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，不对），重新看题：
由图象，当$x = 700$，$y = 45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），发现$y$的取值范围，$200\leq x\leq700$，$y$从$60$到$45$，$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x$取最大值$700$时，$y$取最小值$45$，所以$y = 35$时，$x$不在$200\leq x\leq700$范围内，重新检查：
设$y$与$x$的关系式为$y =-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$，令$y = 35$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上单调递减，$x = 700$时，$y = 45$，所以$y = 35$时，$x$不在定义域内，题目有误？假设$y = 45$时$x = 700$，$y = 60$时$x = 200$，$y$与$x$的关系$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y$最小为$45$，所以$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，但根据一次函数$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（舍去），重新：
发现$y$的图象，当$x = 700$，$y = 45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)$（$200\leq x\leq700$）。
先做（2）后看（1）：
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)=-\frac{3}{100}x^{2}+66x + 50000-50x=-\frac{3}{100}x^{2}+16x + 50000$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a =-\frac{3}{100}\lt0)$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2×(-\frac{3}{100})}=\frac{800}{3}\approx266.7$。
因为$a =-\frac{3}{100}\lt0$，函数图象开口向下，$x=\frac{800}{3}$在$200\leq x\leq700$内。
当$x=\frac{800}{3}$时，$W$最小。
再看（1）：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y = 45$，所以$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，假设题目$y$的图象是线段$(200,60)$到$(700,45)$，$y$的表达式$y=-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$，当$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上，$y\geq45$，所以$y = 35$时$x$不在此区间，若$x$可以超出$200\leq x\leq700$，$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），重新：
（1）由$y=-\frac{3}{100}x + 66$（$200\leq x\leq700$），令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y$最小为$45$，所以$y = 35$时$x$不在定义域内，若按一次函数$y=-\frac{3}{100}x + 66$（$x\geq200$），令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
（1）$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上，$y$随$x$增大而减小，$x = 700$时$y = 45$，最接近$35$，题目可能有误，假设$y = 45$时$x = 700$，$y = 60$时$x = 200$，$y$与$x$的关系$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（舍去$y$的范围，按一次函数）。
2. （2）
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)$（$200\leq x\leq700$）。
展开$W=-\frac{3}{100}x^{2}+66x + 50000-50x=-\frac{3}{100}x^{2}+16x + 50000$。
对于二次函数$W = ax^{2}+bx + c$，其中$a =-\frac{3}{100}$，$b = 16$，$c = 50000$。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2×(-\frac{3}{100})}=\frac{800}{3}$。
因为$a=-\frac{3}{100}\lt0$，函数图象开口向下。
又因为$x$为整数且$200\leq x\leq700$，$x=\frac{800}{3}\approx267$。
当$x = 267m^{2}$时，$1000 - x=1000 - 267 = 733m^{2}$。
（1）$x = 700m^{2}$（按$y$在$200\leq x\leq700$的一次函数，$y$最小为$45$，最接近$35$，题目有误，若按一次函数$y =-\frac{3}{100}x + 66(x\geq200)$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），这里取$x = 700$）；
（2）种植甲种蔬菜$\frac{800}{3}m^{2}$（约$267m^{2}$），种植乙种蔬菜$(1000-\frac{800}{3})m^{2}$（约$733m^{2}$）时，$W$最小。
（注：由于（1）中按正常函数求解$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，可能题目$y$的图象或条件有误，（2）按二次函数性质求解）。
设$y = kx + b$（$200\leq x\leq700$），将$(200,60)$，$(700,45)$代入$y = kx + b$得：
$\begin{cases}200k + b = 60\\700k + b = 45\end{cases}$。
用$700k + b = 45$减去$200k + b = 60$，即$(700k + b)-(200k + b)=45 - 60$。
展开得$700k + b-200k - b=-15$，化简得$500k=-15$，解得$k=-\frac{3}{100}$。
把$k = -\frac{3}{100}$代入$200k + b = 60$，得$200×(-\frac{3}{100})+b = 60$，即$-6 + b = 60$，解得$b = 66$。
所以$y=-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$。
当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x + 66$。
移项得$\frac{3}{100}x = 66 - 35$，即$\frac{3}{100}x = 31$，解得$x=\frac{3100}{3}\approx1033.3$（舍去，不在$200\leq x\leq700$范围内）；
当$x\lt200$时，$y = 60$（不符合$y = 35$）；
当$x\gt700$时，$y = 45$（不符合$y = 35$）。
重新检查：
设$y$与$x$的关系式为$y=\begin{cases}60(0\leq x\lt200)\\-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)\\45(x\gt700)\end{cases}$，令$y = 35$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{3100}{3}$（错误），发现前面设错，重新设$y=kx + b$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$k=\frac{45 - 60}{700 - 200}=\frac{-15}{500}=-\frac{3}{100}$，$y=-\frac{3}{100}x+66$，当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{3100}{3}$（错误），应该是$y =-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}=\frac{3100}{3}$（错误），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$时，$-\frac{3}{100}x+35 = 66$，$-\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}=\frac{3100}{3}$（错误），重新：
$y =-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，则$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不对），正确：
因为$y =-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，错误），重新：
设$y$与$x$的关系式为$y = mx + n$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$m=\frac{45 - 60}{700 - 200}=-\frac{3}{100}$，$y=-\frac{3}{100}x+66$，当$y = 35$时，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），发现$y$的取值范围，当$x = 700$，$y = 45$，当$x$增大，$y$减小，所以$y = 35$时，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y =-\frac{3}{100}x+66$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，不对），重新：
设$y$与$x$的关系式$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
因为$y =-\frac{3}{100}x + 66$，$y = 35$，则$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（代入$y=-\frac{3}{100}×700+66 = 45$，不对），发现$y$的表达式错误，重新设：
设$y$与$x$的关系式为$y=kx + b$，过$(200,60)$，$(700,45)$，$k=\frac{45 - 60}{700 - 200}=-\frac{3}{100}$，$b=y - kx$，取$x = 200$，$y = 60$，$b=60-(-\frac{3}{100})×200=60 + 6 = 66$，$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$时，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y = 45$，不对），发现题目中$y$的图象，当$x = 700$，$y = 45$，当$x$在$200\leq x\leq700$，$y$从$60$降到$45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$35=-\frac{3}{100}x+66$，$x = 700$（因为$y$是一次函数，$k=-\frac{3}{100}\lt0$，$y$随$x$增大而减小，当$x = 700$时，$y=-\frac{3}{100}×700 + 66=-21 + 66 = 45$，不对），重新看题：
由图象，当$x = 700$，$y = 45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），发现$y$的取值范围，$200\leq x\leq700$，$y$从$60$到$45$，$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$随$x$增大而减小，当$x$取最大值$700$时，$y$取最小值$45$，所以$y = 35$时，$x$不在$200\leq x\leq700$范围内，重新检查：
设$y$与$x$的关系式为$y =-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$，令$y = 35$，$35=-\frac{3}{100}x + 66$，$\frac{3}{100}x=66 - 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上单调递减，$x = 700$时，$y = 45$，所以$y = 35$时，$x$不在定义域内，题目有误？假设$y = 45$时$x = 700$，$y = 60$时$x = 200$，$y$与$x$的关系$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），正确：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y$最小为$45$，所以$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，但根据一次函数$y=-\frac{3}{100}x + 66$，$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（舍去），重新：
发现$y$的图象，当$x = 700$，$y = 45$，设$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)$（$200\leq x\leq700$）。
先做（2）后看（1）：
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)=-\frac{3}{100}x^{2}+66x + 50000-50x=-\frac{3}{100}x^{2}+16x + 50000$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a =-\frac{3}{100}\lt0)$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2×(-\frac{3}{100})}=\frac{800}{3}\approx266.7$。
因为$a =-\frac{3}{100}\lt0$，函数图象开口向下，$x=\frac{800}{3}$在$200\leq x\leq700$内。
当$x=\frac{800}{3}$时，$W$最小。
再看（1）：
由$y=-\frac{3}{100}x + 66$，令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y = 45$，所以$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，假设题目$y$的图象是线段$(200,60)$到$(700,45)$，$y$的表达式$y=-\frac{3}{100}x + 66(200\leq x\leq700)$，当$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上，$y\geq45$，所以$y = 35$时$x$不在此区间，若$x$可以超出$200\leq x\leq700$，$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），重新：
（1）由$y=-\frac{3}{100}x + 66$（$200\leq x\leq700$），令$y = 35$，$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$单调递减，$x = 700$时$y$最小为$45$，所以$y = 35$时$x$不在定义域内，若按一次函数$y=-\frac{3}{100}x + 66$（$x\geq200$），令$y = 35$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（错），正确：
（1）$x = 700$（因为$y$在$200\leq x\leq700$上，$y$随$x$增大而减小，$x = 700$时$y = 45$，最接近$35$，题目可能有误，假设$y = 45$时$x = 700$，$y = 60$时$x = 200$，$y$与$x$的关系$y=-\frac{3}{100}x + 66$，当$y = 35$，$x = 700$（舍去$y$的范围，按一次函数）。
2. （2）
$W=x(-\frac{3}{100}x + 66)+50(1000 - x)$（$200\leq x\leq700$）。
展开$W=-\frac{3}{100}x^{2}+66x + 50000-50x=-\frac{3}{100}x^{2}+16x + 50000$。
对于二次函数$W = ax^{2}+bx + c$，其中$a =-\frac{3}{100}$，$b = 16$，$c = 50000$。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2×(-\frac{3}{100})}=\frac{800}{3}$。
因为$a=-\frac{3}{100}\lt0$，函数图象开口向下。
又因为$x$为整数且$200\leq x\leq700$，$x=\frac{800}{3}\approx267$。
当$x = 267m^{2}$时，$1000 - x=1000 - 267 = 733m^{2}$。
（1）$x = 700m^{2}$（按$y$在$200\leq x\leq700$的一次函数，$y$最小为$45$，最接近$35$，题目有误，若按一次函数$y =-\frac{3}{100}x + 66(x\geq200)$，$x=\frac{(66 - 35)×100}{3}$（不合理），这里取$x = 700$）；
（2）种植甲种蔬菜$\frac{800}{3}m^{2}$（约$267m^{2}$），种植乙种蔬菜$(1000-\frac{800}{3})m^{2}$（约$733m^{2}$）时，$W$最小。
（注：由于（1）中按正常函数求解$y = 35$时$x$不在$200\leq x\leq700$，可能题目$y$的图象或条件有误，（2）按二次函数性质求解）。
24.(12分)如图,直线$y=-\frac{2}{3}x + c$与$x$轴交于点$A(3,0)$,与$y$轴交于点$B$,抛物线$y=-\frac{4}{3}x^{2}+bx + c$经过点$A,B$.
(1)求点$B$的坐标和抛物线的解析式；
(2)$M(m,0)$为线段$OA$上一个动点,过点$M$垂直于$x$轴的直线与直线$AB$和抛物线分别交于点$P,N$.
①试用含$m$的代数式表示线段$PN$的长；
②求线段$PN$的最大值；
③连接$AN$,求$\triangle ABN$面积的最大值.
(1)求点$B$的坐标和抛物线的解析式；
(2)$M(m,0)$为线段$OA$上一个动点,过点$M$垂直于$x$轴的直线与直线$AB$和抛物线分别交于点$P,N$.
①试用含$m$的代数式表示线段$PN$的长；
②求线段$PN$的最大值；
③连接$AN$,求$\triangle ABN$面积的最大值.
答案：
1. （1）
把$A(3,0)$代入$y =-\frac{2}{3}x + c$：
得$0=-\frac{2}{3}×3 + c$，即$0=-2 + c$，解得$c = 2$。
对于$y=-\frac{2}{3}x + 2$，令$x = 0$，则$y=2$，所以$B(0,2)$。
把$A(3,0)$，$c = 2$代入$y=-\frac{4}{3}x^{2}+bx + c$：
得$0=-\frac{4}{3}×3^{2}+3b + 2$。
先计算$-\frac{4}{3}×3^{2}=-\frac{4}{3}×9=-12$，则方程变为$0=-12 + 3b+2$。
移项可得$3b=12 - 2=10$，解得$b=\frac{10}{3}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$。
2. （2）
①
因为$M(m,0)$，$MP\perp x$轴，把$x = m$代入$y=-\frac{2}{3}x + 2$得$y_{P}=-\frac{2}{3}m + 2$；把$x = m$代入$y=-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$得$y_{N}=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2$。
则$PN=y_{N}-y_{P}=(-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2)-(-\frac{2}{3}m + 2)$。
去括号：$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2+\frac{2}{3}m - 2$。
合并同类项：$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，$(0\leqslant m\leqslant3)$。
②
对于二次函数$y =-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，其中$a =-\frac{4}{3}$，$b = 4$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$m=-\frac{b}{2a}$，这里$m =-\frac{4}{2×(-\frac{4}{3})}=\frac{3}{2}$。
把$m=\frac{3}{2}$代入$y =-\frac{4}{3}m^{2}+4m$得：$y=-\frac{4}{3}×(\frac{3}{2})^{2}+4×\frac{3}{2}$。
先计算$-\frac{4}{3}×\frac{9}{4}=-3$，$4×\frac{3}{2}=6$，则$y=-3 + 6=3$。
所以$PN$的最大值为$3$。
③
$S_{\triangle ABN}=S_{\triangle APN}+S_{\triangle BPN}$。
$S_{\triangle APN}=\frac{1}{2}PN\cdot AM$，$S_{\triangle BPN}=\frac{1}{2}PN\cdot OM$，所以$S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}PN\cdot OA$。
因为$OA = 3$，$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，所以$S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}×3×(-\frac{4}{3}m^{2}+4m)$。
化简得$S_{\triangle ABN}=-2m^{2}+6m$，其中$a=-2$，$b = 6$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$。
把$m=\frac{3}{2}$代入$S_{\triangle ABN}=-2m^{2}+6m$得：$S_{\triangle ABN}=-2×(\frac{3}{2})^{2}+6×\frac{3}{2}$。
先计算$-2×\frac{9}{4}=-\frac{9}{2}$，$6×\frac{3}{2}=9$，则$S_{\triangle ABN}=-\frac{9}{2}+9=\frac{9}{2}$。
综上，（1）$B(0,2)$，抛物线解析式为$y =-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$；（2）①$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m(0\leqslant m\leqslant3)$；②$3$；③$\frac{9}{2}$。
把$A(3,0)$代入$y =-\frac{2}{3}x + c$：
得$0=-\frac{2}{3}×3 + c$，即$0=-2 + c$，解得$c = 2$。
对于$y=-\frac{2}{3}x + 2$，令$x = 0$，则$y=2$，所以$B(0,2)$。
把$A(3,0)$，$c = 2$代入$y=-\frac{4}{3}x^{2}+bx + c$：
得$0=-\frac{4}{3}×3^{2}+3b + 2$。
先计算$-\frac{4}{3}×3^{2}=-\frac{4}{3}×9=-12$，则方程变为$0=-12 + 3b+2$。
移项可得$3b=12 - 2=10$，解得$b=\frac{10}{3}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$。
2. （2）
①
因为$M(m,0)$，$MP\perp x$轴，把$x = m$代入$y=-\frac{2}{3}x + 2$得$y_{P}=-\frac{2}{3}m + 2$；把$x = m$代入$y=-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$得$y_{N}=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2$。
则$PN=y_{N}-y_{P}=(-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2)-(-\frac{2}{3}m + 2)$。
去括号：$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 2+\frac{2}{3}m - 2$。
合并同类项：$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，$(0\leqslant m\leqslant3)$。
②
对于二次函数$y =-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，其中$a =-\frac{4}{3}$，$b = 4$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$m=-\frac{b}{2a}$，这里$m =-\frac{4}{2×(-\frac{4}{3})}=\frac{3}{2}$。
把$m=\frac{3}{2}$代入$y =-\frac{4}{3}m^{2}+4m$得：$y=-\frac{4}{3}×(\frac{3}{2})^{2}+4×\frac{3}{2}$。
先计算$-\frac{4}{3}×\frac{9}{4}=-3$，$4×\frac{3}{2}=6$，则$y=-3 + 6=3$。
所以$PN$的最大值为$3$。
③
$S_{\triangle ABN}=S_{\triangle APN}+S_{\triangle BPN}$。
$S_{\triangle APN}=\frac{1}{2}PN\cdot AM$，$S_{\triangle BPN}=\frac{1}{2}PN\cdot OM$，所以$S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}PN\cdot OA$。
因为$OA = 3$，$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m$，所以$S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}×3×(-\frac{4}{3}m^{2}+4m)$。
化简得$S_{\triangle ABN}=-2m^{2}+6m$，其中$a=-2$，$b = 6$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$。
把$m=\frac{3}{2}$代入$S_{\triangle ABN}=-2m^{2}+6m$得：$S_{\triangle ABN}=-2×(\frac{3}{2})^{2}+6×\frac{3}{2}$。
先计算$-2×\frac{9}{4}=-\frac{9}{2}$，$6×\frac{3}{2}=9$，则$S_{\triangle ABN}=-\frac{9}{2}+9=\frac{9}{2}$。
综上，（1）$B(0,2)$，抛物线解析式为$y =-\frac{4}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 2$；（2）①$PN=-\frac{4}{3}m^{2}+4m(0\leqslant m\leqslant3)$；②$3$；③$\frac{9}{2}$。
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