《2025年学业水平评价九年级数学全一册人教版》

17.（6分）已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB，相交于点E，若BC=BE。求证：△ADE是等腰三角形。

答案：
∵BC=BE，
∴∠E=∠BCE，
∵∠BCE=∠BAD（圆内接四边形外角等于内对角），∠E=∠BAD，
∴AD=DE，△ADE是等腰三角形。

18.（8分）在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O与BC边交于其中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB=AC。

答案： （1）连接OD，D是BC中点，O是AB中点，OD//AC，DE⊥AC，OD⊥DE，DE是切线；
（2）连接AD，AB是直径，AD⊥BC，D是BC中点，AD垂直平分BC，
∴AB=AC。

19.（8分）如图，有一座拱桥是圆弧形的，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米。
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？

答案： （1）设圆心为O，OD=r - 18，AD=30，OA²=AD² + OD²，r²=30² + (r - 18)²，解得r=34米；
（2）PE=4，OE=r - PE=30，设此时跨度为A'B'，A'E=$\sqrt{OA'^2 - OE^2}$=$\sqrt{34^2 - 30^2}$=16，A'B'=32米＞30米，不要采取措施。

20.（9分）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M。
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求OC的长。

答案： （1）过O作ON⊥CD于N，AC是对角线，∠ACB=∠ACD=45°，OM⊥BC，OM=ON，BC与⊙O相切，OM=OA，ON=OA，CD与⊙O相切；
（2）设OA=OM=r，OC=$\sqrt{2}$r，AC=$\sqrt{2}$，OA + OC=$\sqrt{2}$，r + $\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$，r=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$ - 1)=2 - $\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$r=2$\sqrt{2}$ - 2。

21.（9分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F。
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h。

答案： （1）AB=AC=12，BD=6$\sqrt{3}$，BC=12$\sqrt{3}$，S△ABC=$\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6$=36$\sqrt{3}$，S扇形AEF=$\frac{120°}{360°}×\pi×6^2$=12π，阴影面积=36$\sqrt{3}$ - 12π；
（2）扇形弧长=$\frac{120°}{180°}×\pi×6$=4π=圆锥底面周长，底面半径r=2，h=$\sqrt{6^2 - 2^2}$=4$\sqrt{2}$。