《2025年学业水平评价九年级数学全一册人教版》

21.（7分）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0$有实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$2x_1x_2 - x_1 - x_2 = 1$，求$k$的值.

答案： （1）$k ≥ -\frac{1}{4}$
解析：$\Delta = (2k + 1)^2 - 4k^2 = 4k + 1 ≥ 0$，解得$k ≥ -\frac{1}{4}$。
（2）$k = 1$
解析：由韦达定理得$x_1 + x_2 = -(2k + 1)$，$x_1x_2 = k^2$。代入$2k^2 + (2k + 1) = 1$，解得$k = 0$或$k = -1$，因$k ≥ -\frac{1}{4}$，所以$k = 0$。

22.（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2019年该市投入基础教育经费5000万元，2021年投入基础教育经费7200万元.
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2022年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？

答案： （1）20%
解析：设增长率为$x$，$5000(1 + x)^2 = 7200$，解得$x = 0.2 = 20\%$（$x = -2.2$舍去）。
（2）400台
解析：2022年经费为$7200×1.2 = 8640$万元，5%为$432$万元。设购买电脑$m$台，$3500m + 2000(1500 - m) ≤ 4320000$，解得$m ≤ 400$。

23.（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天盈利1600元，可能实现吗？请说明理由.

答案： （1）20元
解析：设降价$5x$元，销量增加$10x$件，盈利$(40 - 5x)(20 + 10x) = 1200$，化简得$x^2 - 6x + 8 = 0$，解得$x = 2$（降价10元）或$x = 4$（降价20元），因减少库存选降价20元。
（2）不能实现
解析：方程$(40 - 5x)(20 + 10x) = 1600$化简得$x^2 - 6x + 12 = 0$，$\Delta = 36 - 48 = -12 ＜ 0$，无实数解。

24.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.
（1）当点P移动时间为2秒时，△PCQ的面积为多少？
（2）当点P移动多少秒时，△PCQ的面积为8m²？
（3）在点P，Q运动的过程中，△PCQ的面积是否会达到10m²？为什么？

答案： （1）8m²
解析：$t = 2$时，$PC = 4m$，$CQ = 6 - 2×1 = 4m$，面积$\frac{1}{2}×4×4 = 8m²$。
（2）1秒或4秒
解析：$PC = 2t$，$CQ = 6 - t$，面积$\frac{1}{2}×2t(6 - t) = 8$，即$t^2 - 6t + 8 = 0$，解得$t = 2$或$t = 4$（$t = 4$时$CQ = 2$，成立）。
（3）不会
解析：面积$t(6 - t) = 10$，即$t^2 - 6t + 10 = 0$，$\Delta = 36 - 40 = -4 ＜ 0$，无实数解。