《2025年学业水平评价九年级数学全一册人教版》

17.（7分）关于$x$的方程$(m + 2)x^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求$m$的取值范围；
（2）当$m$为正整数时，求方程的根.

答案： （1）$m ＜ 2$且$m ≠ -2$
解析：$\Delta = 16 - 4(m + 2) ＞ 0$且$m + 2 ≠ 0$，解得$m ＜ 2$且$m ≠ -2$。
（2）$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
解析：正整数$m = 1$，方程为$3x^2 - 4x + 1 = 0$，$(3x - 1)(x - 1) = 0$，解得$x = \frac{1}{3}$或$x = 1$。

18.（7分）《念奴娇·赤壁怀古》是豪放词的代表作之一，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，请欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”求这位风流人物去世时的年龄.

答案： 36岁
解析：设个位数字为$x$，十位数字为$x - 3$，年龄为$10(x - 3) + x$。由个位平方等于年龄得$x^2 = 10(x - 3) + x$，即$x^2 - 11x + 30 = 0$，解得$x = 5$（年龄25，非而立后，舍去）或$x = 6$（年龄36）。

19.（9分）已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$.
（1）当$a = 5$时，解方程；
（2）若$2x^2 + 6x - a = 0$的一个解是$x = 1$，求$a$；
（3）若$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解，试确定$a$的取值范围.

答案： （1）$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{19}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{19}}{2}$
解析：方程为$2x^2 + 6x - 5 = 0$，$\Delta = 36 + 40 = 76$，$x = \frac{-6 ± \sqrt{76}}{4} = \frac{-3 ± \sqrt{19}}{2}$。
（2）$a = 8$
解析：把$x = 1$代入得$2 + 6 - a = 0$，解得$a = 8$。
（3）$a ＜ -\frac{9}{2}$
解析：$\Delta = 36 + 8a ＜ 0$，解得$a ＜ -\frac{9}{2}$。

20.（7分）已知关于$x$的方程$x^2 + ax + a - 1 = 0$.
（1）若该方程的一个根为4，求$a$的值及方程的另一个根；
（2）求证：无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根.

答案： （1）$a = -\frac{3}{5}$，另一根$-\frac{8}{5}$
解析：把$x = 4$代入得$16 + 4a + a - 1 = 0$，解得$a = -3$，方程为$x^2 - 3x - 4 = 0$，另一根为$-1$。
（2）证明：$\Delta = a^2 - 4(a - 1) = (a - 2)^2 ≥ 0$，所以方程总有两个实数根。