搜索
1.下列函数属于二次函数的是（ ）
A. $y = x - \frac{1}{x}$
B. $y = (x - 3)^2 - x^2$
C. $y = ax^2 + bx + c$
D. $y = 2(x + 1)^2 - 1$
A. $y = x - \frac{1}{x}$
B. $y = (x - 3)^2 - x^2$
C. $y = ax^2 + bx + c$
D. $y = 2(x + 1)^2 - 1$
答案：
D
解析：A是分式函数，B化简为一次函数，C缺少$a ≠ 0$条件，D是二次函数顶点式，故选D。
解析：A是分式函数，B化简为一次函数，C缺少$a ≠ 0$条件，D是二次函数顶点式，故选D。
2.已知二次函数$y = x^2$，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（ ）
A. $y = (x + 1)^2 + 2$
B. $y = (x + 1)^2 - 2$
C. $y = (x - 1)^2 + 2$
D. $y = (x - 1)^2 - 2$
A. $y = (x + 1)^2 + 2$
B. $y = (x + 1)^2 - 2$
C. $y = (x - 1)^2 + 2$
D. $y = (x - 1)^2 - 2$
答案：
B
解析：左加右减，上加下减，平移后表达式为$y = (x + 1)^2 - 2$，故选B。
解析：左加右减，上加下减，平移后表达式为$y = (x + 1)^2 - 2$，故选B。
3.关于二次函数$y = -2x^2 - 2$，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向上
B. 图象的对称轴是直线$x = 1$
C. 当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 当$x = 0$时，$y$取得最大值-2
A. 图象开口向上
B. 图象的对称轴是直线$x = 1$
C. 当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 当$x = 0$时，$y$取得最大值-2
答案：
D
解析：$a = -2 ＜ 0$开口向下，对称轴$x = 0$，$x ＞ 0$时$y$随$x$增大而减小，顶点$(0, -2)$为最大值，故选D。
解析：$a = -2 ＜ 0$开口向下，对称轴$x = 0$，$x ＞ 0$时$y$随$x$增大而减小，顶点$(0, -2)$为最大值，故选D。
4.如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴的一个交点为$A(1,0)$，对称轴是直线$x = -1$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$的解是（ ）
A. $x_1 = -3,x_2 = 1$
B. $x_1 = 3,x_2 = 1$
C. $x = -3$
D. $x = -2$
A. $x_1 = -3,x_2 = 1$
B. $x_1 = 3,x_2 = 1$
C. $x = -3$
D. $x = -2$
答案：
A
解析：对称轴$x = -1$，与$x$轴交点$A(1,0)$，另一交点关于对称轴对称，横坐标为$-1 - (1 - (-1)) = -3$，方程解为$x_1 = -3,x_2 = 1$，故选A。
解析：对称轴$x = -1$，与$x$轴交点$A(1,0)$，另一交点关于对称轴对称，横坐标为$-1 - (1 - (-1)) = -3$，方程解为$x_1 = -3,x_2 = 1$，故选A。
5.抛物线$y = ax^2 + bx - 3$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$OB = OC = 3OA$，则抛物线的解析式为（ ）
A. $y = x^2 - 2x - 3$
B. $y = x^2 - 2x + 3$
C. $y = x^2 - 2x - 4$
D. $y = x^2 - 2x - 5$
A. $y = x^2 - 2x - 3$
B. $y = x^2 - 2x + 3$
C. $y = x^2 - 2x - 4$
D. $y = x^2 - 2x - 5$
答案：
A
解析：$C(0, -3)$，$OC = 3$，则$OB = 3$，$OA = 1$，$A(-1,0)$，$B(3,0)$，代入抛物线得$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\9a + 3b - 3 = 0\end{cases}$，解得$a = 1$，$b = -2$，解析式$y = x^2 - 2x - 3$，故选A。
解析：$C(0, -3)$，$OC = 3$，则$OB = 3$，$OA = 1$，$A(-1,0)$，$B(3,0)$，代入抛物线得$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\9a + 3b - 3 = 0\end{cases}$，解得$a = 1$，$b = -2$，解析式$y = x^2 - 2x - 3$，故选A。
6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 6m
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 6m
答案：
B
解析：建立坐标系，顶点$(0,2)$，过$(2,0)$，解析式$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$。水面下降2.5m即$y = -0.5$，解得$x = ±\sqrt{5}$，宽度$2\sqrt{5}$，增加$2\sqrt{5} - 4 ≈ 2m$，故选B。
解析：建立坐标系，顶点$(0,2)$，过$(2,0)$，解析式$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$。水面下降2.5m即$y = -0.5$，解得$x = ±\sqrt{5}$，宽度$2\sqrt{5}$，增加$2\sqrt{5} - 4 ≈ 2m$，故选B。
7.设二次函数$y = a(x - m)(x - m - k)(a ＞ 0,m,k$是实数），则（ ）
A. 当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-a$
B. 当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-2a$
C. 当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-a$
D. 当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-2a$
A. 当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-a$
B. 当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-2a$
C. 当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-a$
D. 当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-2a$
答案：
A
解析：对称轴$x = m + \frac{k}{2}$，最小值$y = a(-\frac{k}{2})(\frac{k}{2}) = -\frac{ak^2}{4}$。$k = 2$时最小值$-a$，故选A。
解析：对称轴$x = m + \frac{k}{2}$，最小值$y = a(-\frac{k}{2})(\frac{k}{2}) = -\frac{ak^2}{4}$。$k = 2$时最小值$-a$，故选A。
8.二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$的图象如图所示，现有以下结论：①$a ＜ 0$；②$abc ＞ 0$；③$a - b + c ＜ 0$；④$b^2 - 4ac ＜ 0$；其中正确的结论有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案：
B
解析：开口向下$a ＜ 0$，对称轴$x = 1 ＞ 0$得$b ＞ 0$，与$y$轴交点$c ＞ 0$，$abc ＜ 0$；$x = -1$时$y ＞ 0$即$a - b + c ＞ 0$；与$x$轴两交点$\Delta ＞ 0$，正确的是①，故选A（注：原解析中正确结论应为①，答案A）。
解析：开口向下$a ＜ 0$，对称轴$x = 1 ＞ 0$得$b ＞ 0$，与$y$轴交点$c ＞ 0$，$abc ＜ 0$；$x = -1$时$y ＞ 0$即$a - b + c ＞ 0$；与$x$轴两交点$\Delta ＞ 0$，正确的是①，故选A（注：原解析中正确结论应为①，答案A）。
9.已知抛物线$y = ax^2 + bx + c(a ＜ 0)$过$A(-2,0),O(0,0),B(-3,y_1),C(3,y_2)$四点，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（ ）
A. $y_1 ＞ y_2$
B. $y_1 = y_2$
C. $y_1 ＜ y_2$
D. 不能确定
A. $y_1 ＞ y_2$
B. $y_1 = y_2$
C. $y_1 ＜ y_2$
D. 不能确定
答案：
A
解析：对称轴$x = -1$，$a ＜ 0$，点$B(-3,y_1)$比$C(3,y_2)$离对称轴近，$y_1 ＞ y_2$，故选A。
解析：对称轴$x = -1$，$a ＜ 0$，点$B(-3,y_1)$比$C(3,y_2)$离对称轴近，$y_1 ＞ y_2$，故选A。
10.对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，定义函数$y = \begin{cases}ax^2 + bx + c(x ≥ 0) \\-ax^2 - bx - c(x ＜ 0)\end{cases}$是它的相关函数.若一次函数$y = x + 1$与二次函数$y = x^2 - 4x + c$的相关函数的图象恰好有两个公共点，则$c$的值可能是（ ）
A. -1
B. 0
C. $\frac{1}{2}$
D. 2
A. -1
B. 0
C. $\frac{1}{2}$
D. 2
答案：
D
解析：相关函数$x ≥ 0$时$y = x^2 - 4x + c$，$x ＜ 0$时$y = -x^2 + 4x - c$。与$y = x + 1$联立，$x ≥ 0$时$x^2 - 5x + c - 1 = 0$，$x ＜ 0$时$-x^2 + 3x - c - 1 = 0$。$c = 2$时，$x ≥ 0$方程有两解，$x ＜ 0$方程无解，共两公共点，故选D。
解析：相关函数$x ≥ 0$时$y = x^2 - 4x + c$，$x ＜ 0$时$y = -x^2 + 4x - c$。与$y = x + 1$联立，$x ≥ 0$时$x^2 - 5x + c - 1 = 0$，$x ＜ 0$时$-x^2 + 3x - c - 1 = 0$。$c = 2$时，$x ≥ 0$方程有两解，$x ＜ 0$方程无解，共两公共点，故选D。
查看更多完整答案，请扫码查看
