《2025年同步练习册分层检测卷七年级数学上册青岛版》

23.(本题满分12分)
已知整式$P=x^{2}+x-1$，$Q=x^{2}-x+1$，$R=-x^{2}+x+1$，若一个次数不高于二次的整式可以表示为$aP+bQ+cR$(其中$a,b,c$为常数)，则可以进行以下分类：
①若$a\neq0$，$b=c=0$，则称该整式为“$P$类整式”；
②若$a\neq0$，$b\neq0$，$c=0$，则称该整式为“$PQ$类整式”；
③若$a\neq0$，$b\neq0$，$c\neq0$，则称该整式为“$PQR$类整式”.
(1)模仿上面的分类方式，请给出“$R$类整式”和“$QR$类整式”的定义：若$a = b = 0,c\neq 0$，则称该整式为“$QR$类整式”；若$a = 0,b\neq 0,c\neq 0$，则称该整式为“$QR$类整式”.
(2)说明整式$x^{2}-5x+5$为“$PQ$类整式”.
(3)$x^{2}+x+1$是哪一类整式？说明理由.

答案： 23.
(1)$a = b = 0,c\neq 0$ $a = 0,b\neq 0,c\neq 0$
(2)因为$x^{2}-5x + 5 = -2P + 3Q$,所以为“PQ类整式”.
(3)因为$x^{2}+x + 1 = P + Q + R$,所以为“PQR类整式”.