《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $AD$ 上一点,$EF$ 垂直于 $CE$ 交 $AB$ 于点 $F$,若 $DE = 2$,矩形 $ABCD$ 的周长为 $16$,且 $CE = EF$,求 $AE$ 的长.

答案： $AE=3.$

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$BC = 4$,若将矩形折叠,使点 $D$ 与点 $B$ 重合,那么折痕 $EF$ 的长度是多少?

答案： $EF=\frac{15}{4}.$

9. 如图,长方形 $ABCD$ 中,$AB = 3\mathrm{cm}$,$BC = 2\mathrm{cm}$,点 $P$ 从点 $A$ 出发,以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $A\rightarrow B\rightarrow C$ 运动,最终到达点 $C$,在点 $P$ 运动了 $3$ 秒后点 $Q$ 开始以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度从点 $D$ 运动到点 $A$,在运动过程中,设点 $P$ 的运动时间为 $t$,则当 $t$ 的值为多少时,$\triangle APQ$ 的面积为 $2\mathrm{cm}^{2}$.

答案：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle BAD=90°,AD=BC=2\ cm,$
分两种情况：
①当点$P$在$AB$上时，点$Q$在$D$处，如图1所示:
∵$\triangle APQ$的面积为$2\ cm^2$，
∴$\frac{1}{2}× t× 2=2$，解得$t=2$;

②当点$P$在$BC$上时，如图2所示:
∵$\triangle APQ$的面积为$2\ cm^2$，
∴$\frac{1}{2}× AQ× 3=2$，解得$AQ=\frac{4}{3}$，
∴$DQ=AD - AQ=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}=2(t - 3)$，解得$t=\frac{10}{3}.$
综上所述，当$t$的值为$2$或$\frac{10}{3}$时，$\triangle APQ$的面积为$2\ cm^2.$

矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形.
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.

答案：
(1)直角 平行四边形
(2)直角 四边形
(3)相等

1. (2020·十堰)已知平行四边形 $ABCD$,下列条件：①$AB = BC$；②$AC = BD$；③$AC\perp BD$；④$AC平分\angle BAD$,其中能说明平行四边形 $ABCD$ 是矩形的是(B)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： B

2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测. 检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最具有说服力的是(D)
A.甲量得窗框两组对边分别相等
B.乙量得窗框对角线相等
C.丙量得窗框的一组邻边相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等,且两条对角线也相等

答案： D

3. 已知在四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相平分,交点为 $O$,在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形 $ABCD$ 成为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以是AC=BD(答案不唯一).

答案： AC=BD(答案不唯一)