《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

1. 下列对正方形的描述错误的是(C)
A.正方形的四个角都是直角
B.正方形的对角线互相垂直
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.邻边相等的矩形是正方形

答案： C

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $BC$ 于点 $D$,交 $AB$ 于点 $E$,且 $BE = BF$,添加一个条件,仍

不

能

证明四边形 $BECF$ 为正方形的是(D)

A.$BC = AC$
B.$CF \perp BF$
C.$BD = DF$
D.$AC = BF$

答案： D

3. 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得的四边形是(D)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： D

4. 如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形,小明把矩形上的一个角沿折痕 $AE$ 翻折上去,使 $AB$ 与边 $AD$ 上的 $AF$ 重合,则四边形 $ABEF$ 就是一个大的正方形,他判定的方法是有一组邻边相等的矩形是正方形.

答案： 有一组邻边相等的矩形是正方形

5. 如图,四边形 $ABCD$ 的两条对角线 $AC$,$BD$ 互相垂直,$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$,$D_{1}$ 分别是四边形 $ABCD$ 四条边的中点. 如果 $AC = 8$,$BD = 10$,那么四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的面积为20.

答案： 20

6. 菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”.
设菱形相邻两个内角的度数分别为 $m$,$n$.

(1) 若我们将菱形的“接近度”定义为 $|m - n|$,则 $|m - n|$ 越小,菱形就接近正方形. 若菱形的一个内角为 $70^{\circ}$,则“接近度”= $40°$；
(2) 若我们将菱形的“接近度”定义为 $\frac{m}{n}$($m \leq n$),则菱形的“接近度”= 1时,菱形就是正方形.

答案： 6.
(1)$ 40° $
(2)1

7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC \perp BD$,垂足为 $O$,$AC = BD$,$E$,$F$,$G$,$H$ 分别为 $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ 的中点,求证：四边形 $EFGH$ 为正方形.

答案： 证明：
∵E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点，
∴$ EF // AC $，$ EF=\frac{1}{2}AC $，$ HG // AC $，$ HG=\frac{1}{2}AC $，$ EH // BD $，$ EH=\frac{1}{2}BD $，$ FG // BD $，$ FG=\frac{1}{2}BD $.
∴$ EF // HG $，$ EF=HG $.
∴四边形 $ EFGH $ 为平行四边形.
∵$ AC=BD $，
∴$ EF=EH $.
∴四边形 $ EFGH $ 为菱形.
∵$ AC \perp BD $，$ EF // AC $，$ EH // BD $，
∴$ EF \perp EH $.
∴四边形 $ EFGH $ 为正方形.

8. 如图,$AB$ 是 $CD$ 的垂直平分线,交 $CD$ 于点 $M$,过点 $M$ 作 $ME$ 垂直于 $AC$,$MF$ 垂直于 $AD$,垂足分别为 $E$,$F$.
(1) 求证：$\angle CAB = \angle DAB$；
(2) 若 $\angle CAD = 90^{\circ}$,求证：四边形 $AEMF$ 是正方形.

答案： 证明：
(1)
∵AB 是 CD 的垂直平分线，
∴$ AC=AD $.又
∵$ AB \perp CD $，
∴$ \angle CAB=\angle DAB $（等腰三角形的三线合一）.
(2)
∵$ ME \perp AC $，$ MF \perp AD $，$ \angle CAD=90° $，即$ \angle CAD=\angle AEM=\angle AFM=90° $，
∴四边形 $ AEMF $ 是矩形.又
∵$ \angle CAB=\angle DAB $，$ ME \perp AC $，$ MF \perp AD $，
∴$ ME=MF $.
∴矩形 $ AEMF $ 是正方形.