《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

1. 若 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}+x - 12 = 0$ 的两个根,则(C)
A.$x_{1}+x_{2}= 1$
B.$x_{1}-x_{2}= 1$
C.$x_{1}+x_{2}= -1$
D.$x_{1}x_{2}= 12$

答案： C

2. 以 $2,-3$ 为两根的一元二次方程是(B)
A.$x^{2}+x + 6 = 0$
B.$x^{2}+x - 6 = 0$
C.$x^{2}-x + 6 = 0$
D.$x^{2}-x - 6 = 0$

答案： B

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+kx + 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,且 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+x_{1}x_{2}= 0$,则 $k$ 的值为(C)
A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$8$

答案： C

4. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-ax - 3 = 0$ 有一个根是 $1$,则 $a=$$-2$,另一个根是$-3$。

答案： $-2$ $-3$

5. 已知方程 $2x^{2}-4x - 5 = 0$ 的两个根分别是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列式子的值：
(1)$(x_{1}+2)(x_{2}+2)$；
(2)$x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$。

答案： 解:由一元二次方程的根与系数的关系,可得
$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=-\dfrac{5}{2}$.
(1)原式$=2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}+4=2× 2-\dfrac{5}{2}+4=\dfrac{11}{2}$.
(2)原式$=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=2^{2}-3×\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{23}{2}$.

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx + 2m - 1 = 0$ 的两个实数根分别是 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$,则 $(x_{1}-x_{2})^{2}$ 的值是(C)
A.$1$
B.$12$
C.$13$
D.$25$

答案： C

7. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}+6x + 3 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值为10。

答案： 10

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - m)^{2}+3x = 2m - 3$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若方程的两根满足 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+7 = 0$,求 $m$ 的值。

答案： 解:原方程可变形为$x^{2}-(2m-3)x+m^{2}-2m+3=0$.
(1)$\because$原方程有两个实数根,
$\therefore \Delta =[-(2m-3)]^{2}-4(m^{2}-2m+3)=-4m-3\geqslant0$,
解得$m\leqslant -\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because$方程的两实根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=2m-3$,$x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}-2m+3$,
$\because x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+7=0$,
$\therefore 3x_{1}\cdot x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}+7=0$,
$\therefore 3(m^{2}-2m+3)-(2m-3)^{2}+7=0$,
即$-(m-3)^{2}+16=0$.
解得$m_{1}=-1$,$m_{2}=7$,$\because m\leqslant -\dfrac{3}{4}$,$\therefore m=-1$.

9. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+(k + 1)x+\frac{k}{4}= 0$,是否存在实数 $k$,使方程的两个实数根的倒数和等于 $0$？若存在,求出实数 $k$ 的值；若不存在,请说明理由。

答案： 实数$k$不存在,因为由两个实数根的倒数和为0求出的$k$值无法满足判别式大于等于0.

1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审清题意,弄清题目中的已知量和未知量；
(2)设未知数,可以直接设,也可以间接设；
(3)找出题目中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程；
(4)选用适当的方法解方程；
(5)检验,看方程的解是否与实际问题相符合；
(6)写出答案。

答案：
(1)未知量
(2)间接
(3)等量
(5)实际问题