《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

4. 如图,在正方形ABCD中,F是CD上的一点,BF与AC交于点E.若∠CBF= 20°,则∠AED= 65°.

答案： $65^{\circ }$

5. 如图,P为边长为1的正方形ABCD内的一点,△PAB为等边三角形,则$S_{△ADP}+S_{△BPC}$= 0.5.
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答案： 0.5

6. 如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB,BD于M,N两点,若$BM= \sqrt{2}$,则正方形ABCD的边长为$2+\sqrt {2}$.
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答案： $2+\sqrt {2}$

7. 如图,已知在正方形ABCD中,E是边CD上的一点,F为BC延长线上的一点,CE= CF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若∠BEC= 60°,求∠EFD的度数.
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答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore BC=DC,\angle BCD=90^{\circ }.$
在$\triangle BCE$和$\triangle DCF$中，
$BC=DC,\angle BCE=\angle DCF=90^{\circ },CE=CF,$
$\therefore \triangle BCE\cong \triangle DCF(SAS).$
(2)解：$\angle EFD=15^{\circ }.$

8. (2020·呼和浩特)如图,正方形ABCD,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DE⊥AG于点E,BF//DE,且交AG于点F.
(1)求证：AF-BF= EF；
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形,如果可能,请指出此时点G的位置；如不可能,请说明理由.
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答案：

(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=AD,\angle BAF+\angle DAE=90^{\circ }.$
$\because DE\perp AG,\therefore \angle DAE+\angle ADE=90^{\circ },\therefore \angle ADE=\angle BAF.$
又$\because BF// DE,\therefore \angle BFA=\angle AED=90^{\circ },$
$\therefore \triangle ABF\cong \triangle DAE(AAS),\therefore AE=BF,$
$\therefore AF - BF=AF - AE=EF.$
(2)解：不可能.理由如下：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知$DE// BF$，则当$DE=BF$时，四边形BFDE为平行四边形，
$\because DE=AF,\therefore BF=AF$，即此时$\angle BAF=45^{\circ },$
而点G不与点C重合，
$\therefore \angle BAF\neq 45^{\circ }$，矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形.

9. 如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA= PE,PE交CD于点F.
(1)求证：PC= PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC= 120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
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答案：
(1)证明：在正方形ABCD中，$AB=BC,\angle ABP=\angle CBP=45^{\circ },$
在$\triangle ABP$和$\triangle CBP$中，
$AB=BC,\angle ABP=\angle CBP,PB=PB,$
$\therefore \triangle ABP\cong \triangle CBP(SAS).\therefore PA=PC,$
$\because PA=PE,\therefore PC=PE.$
(2)解：由
(1)知$\triangle ABP\cong \triangle CBP,$
$\therefore \angle BAP=\angle BCP,\therefore \angle DAP=\angle DCP.$
$\because PA=PE,\therefore \angle DAP=\angle E,\therefore \angle DCP=\angle E.$
$\because \angle CFP=\angle EFD$(对顶角相等)，
$\therefore 180^{\circ }-\angle PFC-\angle PCF=180^{\circ }-\angle DFE-\angle E,$
即$\angle CPE=\angle EDF=90^{\circ }.$
(3)在菱形ABCD中，$AB=BC,\angle ABP=\angle CBP=60^{\circ },$
在$\triangle ABP$和$\triangle CBP$中，
$AB=BC,\angle ABP=\angle CBP,PB=PB,$
$\therefore \triangle ABP\cong \triangle CBP(SAS),\therefore PA=PC,\angle BAP=\angle BCP.$
$\because PA=PE,\therefore PC=PE,\therefore \angle DAP=\angle DCP,$
$\because PA=PC,\therefore \angle DAP=\angle AEP,\therefore \angle DCP=\angle AEP,$
$\because \angle CFP=\angle EFD$(对顶角相等)，
$\therefore 180^{\circ }-\angle PFC-\angle PCF=180^{\circ }-\angle DFE-\angle AEP,$
即$\angle CPF=\angle EDF=180^{\circ }-\angle ADC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ },$
$\therefore \triangle EPC$是等边三角形，$\therefore PC=CE,\therefore AP=CE.$