《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

9. 有一张矩形风景画,长为 90 cm,宽为 60 cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同,且面积比原风景画的面积大 44%.若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为 a cm,左、右边衬的宽都为 b cm,那么 ab= 54.

答案： $54\,cm^2$

10. 如图,△ABC 是一块锐角三角形的材料,边 BC= 120 mm,高 AD= 80 mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上,这个正方形零件的边长是多少？

答案： 解：设正方形的边长为$x\,mm$，则$AI=AD-x=80-x$，$\because EFHG$是正方形，$\therefore EF// GH$，$\therefore \triangle AEF\backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，解得$x=48$，所以，这个正方形零件的边长是$48\,mm$．

相似多边形的性质定理：相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

答案： 相似比 相似比的平方

1. 若$\triangle ABC \backsim \triangle AB'C$,且面积比为$4:9$,则其对应边上的高的比为(C)
A.$\frac{16}{81}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE // BC$,$BC = 6\ cm$,且$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC} = 1:4$,那么$DE$的长为(C)

A.$2\sqrt{6}\ cm$
B.$4\ cm$
C.$3\ cm$
D.$2\sqrt{2}\ cm$

答案： C

3. 若$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,且$AB:DE = 2:3$,$\triangle DEF的面积为9$；则$\triangle ABC$的面积为4。

答案： 4

4. 如果一个三角形的三边长分别为$5$,$12和13$,与其相似的三角形的最长边长是$39$,那么较大的三角形的周长是90,较小的三角形与较大的三角形的面积分别是30,270。

答案： 90 30 270

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE // BC$,$BE \perp AC于点E$,$DF \perp AC于点F$,若$DE = 2$,$BC = 4$,$BE = 2\sqrt{3}$,且$\triangle ABC的周长为12$,求$\triangle ADE的周长和DF$的长度。

答案： △ADE的周长为6,DF的长度为$\sqrt{3}$.