《2025年同步精练广东九年级数学上册北师大版》

3. 用配方法解下列方程时,配方正确的是(A)
A.$x^{2}-2x - 99 = 0化为(x - 1)^{2}= 100$
B.$x^{2}+8x + 9 = 0化为(x + 4)^{2}= 25$
C.$2t^{2}-7t - 4 = 0化为(t-\frac{7}{4})^{2}= \frac{81}{4}$
D.$3x^{2}-4x - 2 = 0化为(x-\frac{2}{3})^{2}= \frac{10}{9}$

答案： A

4. 将$3x^{2}-2x - 2 = 0配方成(x + m)^{2}= n$的形式,则$n= $$\frac{7}{9}$。

答案： $\frac{7}{9}$

5. 关于$x的二次三项式x^{2}+10x + a有最小值-10$,则常数$a= $15。

答案： 15

6. 已知$x^{2}+y^{2}-4x + 6y + 13 = 0$,求$xy= $$-6$。

答案： $-6$

7. 将下列方程两边同乘(或除以)适当的数,写成$(x + m)^{2}= n$的形式。
(1)$2x^{2}+3x - 2 = 0$；
(2)$\frac{1}{4}x^{2}+x - 2 = 0$。

答案：
(1)$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$.
(2)$(x+2)^{2}=12$.

8. 用配方法解方程：
(1)$2x^{2}-3x + 1 = 0$；
(2)$2x^{2}-4x - 16 = 0$。

答案：
(1)解:$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$,$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$,$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$,$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{1}{4}$,$\therefore x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=1$.
(2)解:$x^{2}-2x-8=0$,$x^{2}-2x=8$,$x^{2}-2x+1=8+1$,即$(x-1)^{2}=9$,$\therefore x-1=\pm3$,$\therefore x-1=3$或$x-1=-3$,$\therefore x_{1}=4$,$x_{2}=-2$.

9. 配方法是一种常用的数学方法,用配方法将$6 - 2\sqrt{5}$写成平方形式的方式是：$6 - 2\sqrt{5}= 5 + 1 - 2\sqrt{5}= (\sqrt{5})^{2}+1^{2}-2\sqrt{5}= (\sqrt{5}-1)^{2}$。利用这个方法解决：
(1)$5 + 2\sqrt{6}= ($$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$)^{2}$,$5 - 2\sqrt{6}= ($______$\sqrt{2}-\sqrt{3}$$)^{2}$；
(2)化简$\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}+\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$；
(3)当$1\leqslant x\leqslant 2$时,化简$\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}+\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$。

答案：
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{11-2\sqrt{30}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}$$=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{6})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{2}$$=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
(3)$\because1\leqslant x\leqslant2$,$\therefore\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$$=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^{2}}$$=\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2$.

1. 一元二次方程的一般形式：$ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$.

答案： $ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$

2. 公式法
一般地,对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$,当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时,它的根 $x = $$\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. 这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

答案： $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 公式法

3. 判定一元二次方程根的情况
由一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 可知,一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根的情况可由 $b^{2}-4ac$ 来判定,我们把 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”来表示.
(1) 当 $b^{2}-4ac$ ＞ $0$ 时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $b^{2}-4ac$ = $0$ 时,方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $b^{2}-4ac$ ＜ $0$ 时,方程没有实数根.

答案： 根的判别式 $\Delta$
(1)＞
(2)=
(3)＜