《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社八年级数学54制》

13.已知$2:(a + 1)= (a - 1):3$,求$a$的值.

答案： 解：$ \because 2:(a + 1) = (a - 1):3 $，$ \therefore (a + 1)(a - 1) = 2 × 3 $，$ \therefore a^{2} = 7 $，$ \therefore a = \pm \sqrt{7} $。

14.在$\triangle ABC$中,$D为BC$边的中点,$E为AC$边上的任意一点,$BE交AD于点O$.

小明在研究这一问题时,发现了如下的事实：
(1)当$\frac{AE}{AC}= \frac{1}{2}= \frac{1}{1 + 1}$时,有$\frac{AO}{AD}= \frac{2}{3}= \frac{2}{2 + 1}$；(如图2所示)

(2)当$\frac{AE}{AC}= \frac{1}{3}= \frac{1}{1 + 2}$时,有$\frac{AO}{AD}= \frac{2}{4}= \frac{2}{2 + 2}$；(如图3所示)

(3)当$\frac{AE}{AC}= \frac{1}{4}= \frac{1}{1 + 3}$时,有$\frac{AO}{AD}= \frac{2}{5}= \frac{2}{2 + 3}$.(如图4所示)

在图5中,当$\frac{AE}{AC}= \frac{1}{1 + n}$时,参照上述研究结论,请你猜想用$n表示\frac{AO}{AD}$的一般结论,并给出证明.(其中$n$是正整数)

答案：
解：过点 $ D $ 作 $ DF // BE $ 交 $ AC $ 于点 $ F $，$ \therefore AO:AD = AE:AF $。$ \because D $ 为 $ BC $ 边的中点，$ \therefore CF = EF = \frac{1}{2}EC $。 $ \because \frac{AE}{AC} = \frac{1}{1 + n} $。$ \therefore AE:(AE + 2EF) = 1:(1 + n) $，$ AE + 2EF = AE + nAE $，$ nAE = 2EF $，$ \therefore AE:EF = 2:n $。$ \therefore AE:AF = 2:(n + 2) $。$ \therefore \frac{AO}{AD} = \frac{2}{(n + 2)} $。