《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社八年级数学54制》

11. 观察下列等式：
①$3 - 2 \sqrt { 2 } = ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$
②$5 - 2 \sqrt { 6 } = ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$
③$7 - 2 \sqrt { 12 } = ( \sqrt { 4 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$
…
请你根据以上规律,写出第6个等式：____$13 - 2\sqrt{42} = (\sqrt{7} - \sqrt{6})^2$。

答案： $13 - 2\sqrt{42} = (\sqrt{7} - \sqrt{6})^2$

12. (2024·山东模拟)已知$x = \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 }$,那么$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 2 } x$的值是4。

答案： 4

13. (2023·哈尔滨)计算$\sqrt { 63 } - 7 \sqrt { \frac { 1 } { 7 } }$的结果是$2\sqrt{7}$。

答案： $2\sqrt{7}$

14. 计算：
(1)$( \sqrt { 3 } - 2 ) ^ { 2 } + \sqrt { 12 } + 6 \sqrt { \frac { 1 } { 3 } }$；
(2)$( \sqrt { 8 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } ) × \sqrt { 6 }$；
(3)$( 1 - \pi ) ^ { 0 } + | \sqrt { 2 } - \sqrt { 3 } | - \sqrt { 12 } + ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ) ^ { - 1 }$。

答案： 解：
(1) 原式$= 3 + 4 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3 + 4 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7$；
(2) 原式$= \sqrt{8×6} - \sqrt{\frac{1}{2}×6} = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$；
(3) 原式$= 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{3}$。

15. (1)观察下列运算过程：
$\frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + 1 } = \frac { \sqrt { 2 } - 1 } { ( \sqrt { 2 } + 1 ) ( \sqrt { 2 } - 1 ) } = \frac { \sqrt { 2 } - 1 } { ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } - 1$,
$\frac { 1 } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) } = \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 }$,
…
请运用上面的运算方法计算：$\frac { 1 } { 1 + \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 7 } } + … + \frac { 1 } { \sqrt { 2019 } + \sqrt { 2021 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2021 } + \sqrt { 2023 } } = $$\frac{\sqrt{2023} - 1}{2}$。
(2)观察下列各式：
$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } = 1 + ( 1 - \frac { 1 } { 2 } )$,
$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } = 1 + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } )$,
$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 3 × 4 } = 1 + ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } )$,
…
请利用你发现的规律,计算：$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } } + … + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 2022 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2023 ^ { 2 } } }$,其结果为$2022\frac{2022}{2023}$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{2023} - 1}{2}$
解析：原式$= \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) + \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \frac{1}{2}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \cdots + \frac{1}{2}(\sqrt{2021} - \sqrt{2019}) + \frac{1}{2}(\sqrt{2023} - \sqrt{2021})$
$= \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{2023} - \sqrt{2021})$
$= \frac{\sqrt{2023} - 1}{2}$。
(2)$2022\frac{2022}{2023}$