《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边长分别是a$,$b$,$c$,判断下列$\triangle ABC$是不是直角三角形. 若是,请指出哪一个角是直角.
(1)$a = 2$,$b = 3$,$c = 4$； (2)$a = 5$,$b = 7$,$c = 9$；
(3)$a = 15$,$b = 8$,$c = 17$； (4)$a = 41$,$b = 9$,$c = 40$.

答案： 1.解:
(1)
∵a=2,b=3,c=4,
∴a²=4,b²=9,c²=16.
∵4+9=13≠16,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(2)
∵a=5,b=7,c=9,
∴a²=25,b²=49,c²=81.
∵25+49=74≠81,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(3)
∵a=15,b=8,c=17,
∴a²=225,b²=64,c²=289.
∵225+64=289,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.
(4)
∵a=41,b=9,c=40,
∴a²=1681,b²=81,c²=1600.
∵81+1600=1681,
∴b²+c²=a²,
∴△ABC是直角三角形,∠A=90°.

2. 如图,把一块直角三角形土地$ABC$(其中$\angle ACB = 90^{\circ}$)划出一个$\triangle ADC$后,测得$CD = 3$,$AD = 4$,$BC = 12$,$AB = 13$.
(1)求$AC$的长；
(2)判断$\triangle ADC$的形状,并说明理由；
(3)求图中阴影部分土地的面积.

答案： 2.解:
(1)
∵∠ACB=90°,BC=12,AB=13,
∴AC²=AB²-BC²=169-144=25,
∴AC=5.
(2)△ADC是直角三角形,理由:
∵CD=3,AD=4,AC=5,3²+4²=5²,
∴CD²+AD²=AC²,
∴△ADC是直角三角形,∠ADC=90°.
(3)S阴影=S△ABC-S△ACD=½AC·BC-½AD·CD=½×5×12-½×4×3=30-6=24.所以图中阴影部分土地的面积为24.

3. 已知$\triangle ABC的三边长分别是a$,$b$,$c$,且$a = m^{2}-1$,$b = 2m$,$c = m^{2}+1$,那么$\triangle ABC$是直角三角形吗？请证明你的结论.

答案： 3.解:△ABC是直角三角形.证明:
∵a²+b²=(m²-1)²+(2m)²=m⁴-2m²+1+4m²=m⁴+2m²+1=(m²+1)²=c²,
∴△ABC是直角三角形.

4. 如图,在四边形$ABDC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 9$,$AC = 12$,$BD = 8$,$CD = 17$.
(1)连接$BC$,求$BC$的长；
(2)求四边形$ABDC$的面积.

答案： 4.解:
(1)
∵在△ABC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,
∴BC²=AB²+AC²=9²+12²=225,
∴BC=15.
(2)
∵BC²=225,BD²=8²=64,CD²=17²=289,
∴BC²+BD²=CD²,
∴△BCD是直角三角形,∠DBC=90°,
∴四边形ABDC的面积为S△ABC+S△BCD=½AB·AC+½BD·BC=½×9×12+½×8×15=114.