《2025年精彩三年就练这一本八年级数学上册浙教版》

13. 如图,在$\triangle ABD$中,$\angle BAD= 45^\circ$,$AE\perp BD于点E$,$DF\perp AB于点F$,交$AE于点G$,若$BE= 4$,$DE= 3$,则$AG= $______。

答案： 7

14. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$的中点,点$E在AB$上,$BE= BD$,$\angle BAC= 80^\circ$。
(1)求$\angle BDE$的度数。
(2)求$\angle ADE$的度数。

答案： 14. 解:
(1)因为AB=AC,∠BAC=80°,所以∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=50°。
因为BD=BE,所以∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=65°。
(2)因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°。

15. (8分)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC$的顶点均为格点(网格线的交点)。
(1)作出$\triangle ABC关于直线MN的轴对称图形\triangle A_1B_1C_1$。
(2)求$\triangle A_1B_1C_1$的面积。
(3)在直线$MN上找一点P$,使得$\triangle BAC的面积等于\triangle PAC$的面积。

答案： 15. 解:
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求。
(2)△A₁B₁C₁的面积=2×3-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×2×2=2。
(3)如图,点P,P'即为所求。

16. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,过线段$CD上一点E作EG// AD$,交$AC于点F$,交$BA的延长线于点G$。
(1)求证：$\triangle AFG$是等腰三角形。
(2)若$CE= EF$,$\angle BAC= 80^\circ$,求$\angle B$的度数。

答案： 16. 解:
(1)证明:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD。
因为EG//AD,所以∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,所以∠G=∠AFG,所以AF=AG,所以△AFG是等腰三角形。
(2)因为CE=EF,所以∠CFE=∠C。
因为∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,所以∠C=∠CAD。
因为∠BAC=80°,AD平分∠BAC,所以∠C=∠CAD=40°,所以∠B=180°-∠BAC-∠C=60°。

17. (10分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下：设$\angle BAC= \theta(0^\circ＜\theta＜90^\circ)$。现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线$AB$,$AC$上。
活动一：如图1,从点$A_1$开始,依次向右摆放小棒,若小棒与小棒在端点处互相垂直,$A_1A_2$为第1根小棒。
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答：______。(填“能”或“不能”),设$AA_1= A_1A_2= A_2A_3$,则$\theta=$______。
活动二：如图2,从点$A_1$开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中$A_1A_2$为第1根小棒,且$A_1A_2= AA_1$。
数学思考：
(2)若已经摆放了3根小棒,则$\theta_3= $______。(用含$\theta$的式子表示)

答案： 17. 解:
(1)因为∠BAC=θ(0°＜θ＜90°),小棒两端能分别落在两射线上,所以小棒能无限摆下去。
因为A₁A₂=A₂A₃,A₁A₂⊥A₂A₃,所以∠A₂A₁A₃=45°,所以∠AA₂A₁+θ=45°。
因为AA₁=A₁A₂,所以∠AA₂A₁=θ,所以θ=22.5°。
故答案为能;22.5°。
(2)因为A₁A₂=AA₁,所以∠A₁AA₂=∠AA₂A₁=θ,所以∠A₂A₁A₃=θ₁=θ+θ,即θ₁=2θ。同理可得θ₂=3θ,θ₃=4θ。故答案为4θ。