《2025年精彩三年就练这一本八年级数学上册浙教版》

13. 如图,∠ABD和∠ACE是△ABC的外角,BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的平分线,延长FB和GC交于点H。设∠A= α,∠H= β,则α与β之间的数量关系为______。
]

答案： α+2β=180°

14. (7分)如图,BD是△ABC的角平分线,BE是△ABC的AC边上的中线。
(1)若△ABE的周长为13,BE= 6,CE= 4,求AB的长。
(2)若∠A= 92°,∠CBD= 34°,求∠C的度数。
]

答案： 解：
(1)因为 BE 是△ABC 的 AC 边上的中线，所以 AE=CE。因为 CE=4，所以 AE=4。因为△ABE 的周长为 13，所以 AB+AE+BE=13，所以 AB+BE=9。因为 BE=6，所以 AB=3。
(2)因为 BD 是△ABC 的角平分线，∠CBD=34°，所以∠CBA=2∠CBD=68°。因为∠A=92°，所以∠C=180°-∠A-∠CBA=180°-92°-68°=20°。

15. (7分)如图,①AB//CD,②BE平分∠ABD,③∠1+∠2= 90°,④DE平分∠BDC。
(1)请以其中三个为条件,第四个为结论,写出一个命题。
(2)判断这个命题是否为真命题,并说明理由。
]

答案： 解：
(1)答案不唯一，如：如果 BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么 AB//CD。
(2)这个命题是真命题，理由如下：因为 BE 平分∠ABD，所以∠1=$\frac{1}{2}$∠ABD。因为 DE 平分∠BDC，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠BDC。因为∠1+∠2=90°，所以∠ABD+∠BDC=180°，所以 AB//CD。

16. (10分)如图,在△ABC中,∠B＞∠C,AD平分∠BAC,点E在AD的延长线上,过点E作EF⊥BC于点F,设∠B= α,∠C= β。
(1)当α= 80°,β= 30°时,求∠E的度数。
(2)试问∠E与∠B,∠C之间存在着怎样的数量关系？试用α,β表示∠E,并说明理由。
]

答案： 解：
(1)因为∠B=80°，∠C=30°，所以∠BAC=180°-80°-30°=70°。因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°，所以∠EDF=∠ADB=180°-35°-80°=65°。因为 EF⊥BC，所以∠EFD=90°，所以∠E=90°-65°=25°。
(2)因为∠EDF=180°-∠ADC=180°-[180°-(∠C+∠CAD)]=∠C+∠CAD，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-α-β)，所以∠EDF=∠C+90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β=90°-$\frac{1}{2}$(α-β)。因为∠EFD=90°，所以∠E=$\frac{1}{2}$(α-β)。

17. (11分)已知在△ABC中,∠A= 50°,高线BD和高线CE所在的直线交于点P,请画出图形并求出∠BPC的度数。

答案： 解：若 P 在△ABC 内，如图 1，因为 BD，CE 是△ABC 的高线，∠A=50°，所以∠ABD=40°，∠BEP=90°，所以∠BPC=∠ABD+∠BEP=40°+90°=130°。若 P 在△ABC 外，如图 2，因为 BD，CE 是△ABC 的高线，∠A=50°，所以∠ABD=40°，∠BEP=90°，所以∠BPC=90°-40°=50°。综上所述，∠BPC 的度数为 130°或 50°。