《2025年全效学习九年级数学上下册浙教版》

1. 二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：

(1)该二次函数的表达式为$y=-2x^{2}+4x+1$.
(2)函数图象的顶点坐标为$(1,3)$,m 的值为-15.

答案：
(1)$y=-2x^{2}+4x+1$
(2)$(1,3)$ -15

2. 已知反比例函数$y= \frac{k}{x}(k≠0)的图象与抛物线y= ax^{2}+bx+c(a≠0)相交于A(1,8),B(m,2),C(-2,n)$三点,则该抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+3x+6$.

答案： $y=-x^{2}+3x+6$

3. 已知抛物线$y= a(x-h)^{2}+k(a≠0)$与 x 轴相交于点$A(-4,0),B(2,0)$,与 y 轴相交于点$C(0,4).$
(1)求 a,h 和 k 的值.
(2)当$-2≤x≤2$时,试求 y 的取值范围.

答案：
(1)a的值为$-\frac {1}{2}$,h的值为-1,k的值为$\frac {9}{2}$
(2)$0≤y≤\frac {9}{2}$

4. 如图,二次函数图象的顶点坐标为$(1,\frac{2}{3})$,现将等腰直角三角尺的直角顶点放在原点 O,一个锐角顶点 A 在此二次函数的图象上,而另一个锐角顶点 B 在第二象限. 若点 A 的坐标为(2,1).
(1)求该二次函数的表达式.
(2)判断点 B 是否在该二次函数的图象上,并说明理由.

答案： 1. （1）
已知二次函数的顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标）。
因为二次函数图象的顶点坐标为$(1,\frac{2}{3})$，所以设二次函数表达式为$y=a(x - 1)^2+\frac{2}{3}$。
又因为点$A(2,1)$在该二次函数图象上，将$x = 2$，$y = 1$代入$y=a(x - 1)^2+\frac{2}{3}$中，得：
$1=a(2 - 1)^2+\frac{2}{3}$。
即$1=a+\frac{2}{3}$，解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}(x - 1)^2+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(x^{2}-2x + 1)+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x + 1$。
2. （2）
过点$A$作$AC\perp x$轴于点$C$，过点$B$作$BD\perp x$轴于点$D$。
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle BOD+\angle AOC = 90^{\circ}$，又$\angle AOC+\angle OAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BOD=\angle OAC$。
在$\triangle BOD$和$\triangle OAC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BDO=\angle OCA = 90^{\circ}\\\angle BOD=\angle OAC\\OB = OA\end{array}\right.$（$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$OA = OB$）。
所以$\triangle BOD\cong\triangle OAC(AAS)$。
已知$A(2,1)$，则$OC = 2$，$AC = 1$，所以$BD = OC = 2$，$OD = AC = 1$。
因为点$B$在第二象限，所以$B(-1,2)$。
当$x=-1$时，$y=\frac{1}{3}×(-1 - 1)^2+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}×4+\frac{2}{3}=2$。
所以：
（1）二次函数表达式为$y = \frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x + 1$；
（2）点$B$在该二次函数的图象上。

5. 如图,已知二次函数$y= -x^{2}+bx+c$的图象与 x 轴相交于$A(-2,0),B(1,0)$两点.
(1)求 b,c 的值.
(2)若点 P 在该二次函数的图象上,且$\triangle PAB$的面积为 6,求点 P 的坐标.

答案：
(1)$b=-1,c=2$
(2)点$P(-3,-4)$或$(2,-4)$