《2025年全效学习九年级数学上下册浙教版》

8. 如图,一只箱子沿着斜面向上运动,箱高AB= 1.2 m. 当BC= 3 m时,点B离地面的距离BE= 1.8 m,则AD的长为2.76m.

答案： 2.76

9. 一块材料的形状为锐角三角形ABC,边BC= 90 mm,高线AD= 60 mm,把它加工成正方形零件,如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求这个正方形零件的边长.
(2)如果把它加工成矩形零件(如图2),问这个矩形的最大面积为多少？

答案： 1. （1）
设正方形零件的边长为$x$ $mm$。
因为$EF// BC$，所以$\triangle AEF\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AD = 60$ $mm$，$BC = 90$ $mm$，$\triangle AEF$的高为$AK=(60 - x)$ $mm$。
则$\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，即$\frac{60 - x}{60}=\frac{x}{90}$。
交叉相乘得：$90(60 - x)=60x$。
展开式子：$5400-90x = 60x$。
移项得：$60x + 90x=5400$。
合并同类项得：$150x = 5400$。
解得$x = 36$。
所以这个正方形零件的边长为$36$ $mm$。
2. （2）
设矩形的长为$y$ $mm$，宽为$z$ $mm$。
因为$EF// BC$，所以$\triangle AEF\sim\triangle ABC$，则$\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，$AK=(60 - z)$ $mm$，$EF = y$ $mm$，$BC = 90$ $mm$，$AD = 60$ $mm$，所以$\frac{60 - z}{60}=\frac{y}{90}$。
化简得$y=\frac{3}{2}(60 - z)=90-\frac{3}{2}z$。
矩形面积$S = yz=(90-\frac{3}{2}z)z$。
展开得$S=-\frac{3}{2}z^{2}+90z$。
对于二次函数$S =-\frac{3}{2}z^{2}+90z$，其中$a =-\frac{3}{2}$，$b = 90$，$c = 0$。
根据二次函数的顶点坐标公式$z=-\frac{b}{2a}$，可得$z=-\frac{90}{2×(-\frac{3}{2})}=30$。
把$z = 30$代入$S=-\frac{3}{2}z^{2}+90z$得：
$S=-\frac{3}{2}×30^{2}+90×30$。
先计算$-\frac{3}{2}×30^{2}=-\frac{3}{2}×900=-1350$，$90×30 = 2700$。
则$S=-1350 + 2700=1350$。
所以这个矩形的最大面积为$1350$ $mm^{2}$。
综上，（1）正方形零件边长为$36$ $mm$；（2）矩形最大面积为$1350$ $mm^{2}$。

10. [应用意识]为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法(如图).

(1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE. 此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,据此可得旗杆的高度为11.3m.
(2)如图2,小李站在操场上点E处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A. 小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE= 1.5 m,小李到镜面距离EC= 2 m,镜面到旗杆的距离CB= 16 m. 求旗杆高度.
12 m
(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大. 在更新测量工具,优化测量方法后,测量精度明显提高,在校外实践时,他们利用自制工具,成功测量了广场雕塑的高度. 方法如下：

如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,可确保管内水面M,N两点始终处于同一水平线上.
如图5,在支架上端P处,用细线系小重物Q,可确保标高线PQ始终垂直于水平地面.
如图6,在广场上点E处,同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D,G两点,并标记观测视线DA与标高线交点C,测得标高线CG= 1.8 m,DG= 1.5 m. 将观测点D后移24 m到点D'处,采用同样方法,测得C'G'= 1.2 m,D'G'= 2 m,求雕塑的高度.
28.8 m

答案：
(1)11.3
(2)12 m
(3)28.8 m