《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学》

9. 如右图,在平行四边形$ABCD$中,$AE\perp BC于点E$,$AF\perp CD于点F$,若$AE = 4$,$AF = 6$,$AD + CD = 20$,则平行四边形$ABCD$的面积为48。

答案： 48

10. 在$□ ABCD$中,$\angle A比\angle B小30^{\circ}$,则$\angle C$的度数是$75^\circ$。

答案： $75^\circ$

11. 用$4m$长的铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为$3:2$,则长边的长为1.2 m。

答案： 1.2 m

12. 在$□ ABCD$中,$AB= \frac{2}{5}BC$,周长为$28cm$,则$CD = $4 cm,$AD = $10 cm。

答案： 4 cm 10 cm

13. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$\angle DAB:\angle ABC = 1:2$,$AB = 4$,$BD与AC相交于O$,且$BD\perp AB$。求$AD$,$BC和BD$的长。

答案： $AD=8,BC=8,BD=4\sqrt{3}$.

14. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE平分\angle BAD$,交$CD于点F$,交$BC的延长线于点E$,连接$BF$。
(1)求证：$BE = CD$。
(2)若点$F是CD$的中点。
①求证：$BF\perp AE$；
②若$\angle BEA = 60^{\circ}$,$AB = 4$,求平行四边形$ABCD$的面积。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AD// BC,AB=CD$.
∵ AE平分$\angle BAD$,
∴ $\angle BAE=\angle EAD=\angle E$.
∴ $BA=BE$.又
∵ $AB=CD$,
∴ $BE=CD$.
(2)①证明:
∵ 点F是CD的中点,
∴ $CF=DF$.在$\triangle ADF$和$\triangle ECF$中,$\begin{cases}\angle DAF=\angle CEF, \\\angle AFD=\angle EFC, \\DF=CF,\end{cases}$
∴ $\triangle ADF\cong\triangle ECF$.
∴ $AF=EF$.又
∵ $BE=BA$,
∴ $BF\perp AE$.②解:
∵ $\angle BEA=60^\circ$,
∴ $\triangle ABE$是等边三角形.又
∵ $AB=4$,
∴ $S_{\triangle ABE}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AB^2=4\sqrt{3}$.
∵ $\triangle ADF\cong\triangle ECF$,
∴ $S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ECF}$,
∴ 平行四边形ABCD的面积为$S_{\triangle ADF}+S_{四边形ABCF}=$$S_{\triangle CEF}+S_{四边形ABCF}=S_{\triangle ABE}=4\sqrt{3}$.

15. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$\angle ABC的平分线与边CD的延长线交于点E$,与$AD交于点F$,且$AF = DF$。
(1)求证：$AB = DE$；
(2)若$AB = 3$,$BF = 5$,求$\triangle BCE$的周长。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AB// CD,AB=CD$.
∴ $\angle A=\angle FDE,\angle ABF=\angle E$.
∵ $AF=DF$,
∴ $\triangle ABF\cong\triangle DEF$.
∴ $AB=DE$.
(2)解:
∵ BE平分$\angle ABC$,
∴ $\angle ABF=\angle CBF$.
∵ $AD// BC$,
∴ $\angle CBF=\angle AFB$.
∴ $\angle ABF=\angle AFB$.
∴ $AF=AB=3$.
∴ $AD=2AF=6$.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $BC=AD=6,CD=AB=3$.
∵ $\triangle ABF\cong\triangle DEF$,
∴ $DE=AB=3,EF=BF=5$.
∴ $CE=6,BE=EF+BF=10$.
∴ $\triangle BCE$的周长为$BE+CE+BC=10+6+6=22$.