《2025年新课程暑假作业广西师范大学出版社七年级数学》

13. 定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解,我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”。例如,方程$2x-1= 1的解是x= 1$,同时$x= 1也是不等式x+1＞0$的解,则称方程$2x-1= 1的解x= 1是不等式x+1＞0$的“友好解”。
(1)试判断方程$\frac {3}{2}x-2= \frac {1}{2}x+1的解是不是不等式\frac {x-3}{2}＞0$的“友好解”？不必说明理由。
(2)若关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y= 5k+2,\\ 5x-y= 4k+5\end{array}\right. 的解是不等式\frac {3}{2}x-2y＞7$的“友好解”,求k的取值范围。
(3)当$k＜3$时,方程$3(x-1)= k的解是不等式4x-1＜x+2m$的“友好解”,求m的最小整数值。

答案： （1）不是 （2）$ \begin{cases} 2x + 3y = 5k + 2, & ① \\ 5x - y = 4k + 5, & ② \end{cases} $ 由② - ①，得 $ 3x - 4y = 3 - k $，由 $ \frac{3}{2}x - 2y ＞ 7 $，得 $ 3x - 4y ＞ 14 $，$ \therefore 3 - k ＞ 14 $，解得 $ k ＜ -11 $ （3）由 $ 3(x - 1) = k $，得 $ x = \frac{k}{3} + 1 $。$ \because k ＜ 3 $，$ \therefore \frac{k}{3} ＜ 1 $，$ \therefore \frac{k}{3} + 1 ＜ 2 $，即 $ x ＜ 2 $。由 $ 4x - 1 ＜ x + 2m $，得 $ x ＜ \frac{2m + 1}{3} $。$ \because $ 方程 $ 3(x - 1) = k $ 的解是不等式 $ 4x - 1 ＜ x + 2m $ 的“友好解”，$ \therefore \frac{2m + 1}{3} \geq 2 $，解得 $ m \geq \frac{5}{2} $，$ \therefore m $ 的最小整数值为 3