搜索
例1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人.开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x人,则第一轮后共有$(1+x)$人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x人,则第二轮后共有$1+x+x(1+x)$人患了流感.则易得到方程为$1+x+x(1+x)= 121$.
思考：
如果按照这样的传染速度,那么三轮后共有多少人患流感?n轮过后呢?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人.开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x人,则第一轮后共有$(1+x)$人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x人,则第二轮后共有$1+x+x(1+x)$人患了流感.则易得到方程为$1+x+x(1+x)= 121$.
思考：
如果按照这样的传染速度,那么三轮后共有多少人患流感?n轮过后呢?
答案：
解：设每轮传染中平均一个人传染了$x$人。
由题意得：$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理得：$(1 + x)^2 = 121$
开平方得：$1 + x = \pm11$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -12$（不合题意，舍去）
所以每轮传染中平均一个人传染了$10$人。
三轮后患流感人数为：$121×(1 + 10) = 1331$（人）
$n$轮后患流感人数为：$(1 + 10)^n = 11^n$（人）
答：每轮传染中平均一个人传染了$10$人；三轮后共有$1331$人患流感；$n$轮过后共有$11^n$人患流感。
由题意得：$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理得：$(1 + x)^2 = 121$
开平方得：$1 + x = \pm11$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -12$（不合题意，舍去）
所以每轮传染中平均一个人传染了$10$人。
三轮后患流感人数为：$121×(1 + 10) = 1331$（人）
$n$轮后患流感人数为：$(1 + 10)^n = 11^n$（人）
答：每轮传染中平均一个人传染了$10$人；三轮后共有$1331$人患流感；$n$轮过后共有$11^n$人患流感。
1.(2023·衢州)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程 (
A.$x+(1+x)= 36$
B.$2(1+x)= 36$
C.$1+x+x(1+x)= 36$
D.$1+x+x^2= 36$
C
)A.$x+(1+x)= 36$
B.$2(1+x)= 36$
C.$1+x+x(1+x)= 36$
D.$1+x+x^2= 36$
答案：
解：第一轮传染后患病的人数为$1 + x$人；第二轮传染中，这些$1 + x$人每人又传染$x$人，所以第二轮新增患病人数为$x(1 + x)$人，两轮后总患病人数为$1 + x + x(1 + x)$人。已知经过两轮传染后共有36人患流感，故方程为$1 + x + x(1 + x) = 36$。
答案：C
答案：C
2.一个小组有若干人,新年他们互送一张贺卡,若全组共送贺卡90张,则这个小组共有 (
A.9人
B.10人
C.12人
D.15人
B
)A.9人
B.10人
C.12人
D.15人
答案：
解：设这个小组共有$x$人。
每人需向除自己外的$(x - 1)$人送贺卡，则全组共送贺卡$x(x - 1)$张。
依题意，得$x(x - 1)=90$，
整理，得$x^{2}-x - 90=0$，
因式分解，得$(x - 10)(x + 9)=0$，
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=-9$（人数不能为负数，舍去）。
答：这个小组共有10人。
B
每人需向除自己外的$(x - 1)$人送贺卡，则全组共送贺卡$x(x - 1)$张。
依题意，得$x(x - 1)=90$，
整理，得$x^{2}-x - 90=0$，
因式分解，得$(x - 10)(x + 9)=0$，
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=-9$（人数不能为负数，舍去）。
答：这个小组共有10人。
B
例2 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用"场内+农户"养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,3月份和5月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成6月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在5月份已有的销售点的基础上至少应再增加多少个销售点?
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成6月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在5月份已有的销售点的基础上至少应再增加多少个销售点?
答案：
(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为$x$。
3月份产蛋量为2.5万千克，4月份产蛋量为$2.5(1 + x)$万千克，5月份产蛋量为$2.5(1 + x)^2$万千克。
由题意得：$2.5(1 + x)^2=3.6$
$(1 + x)^2 = 1.44$
$1 + x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为$20\%$。
(2)6月份产蛋量为$3.6×(1 + 20\%) = 4.32$万千克
每个销售点每月平均销售量最多为$0.32$万千克，共需销售点$4.32÷0.32 = 13.5$个，向上取整为14个。
5月份产蛋量3.6万千克，5月份销售点数量为$3.6÷0.32 = 11.25$个，向上取整为12个。
至少应再增加销售点$14 - 12 = 2$个。
答：该养殖场在5月份已有的销售点的基础上至少应再增加2个销售点。
(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为$x$。
3月份产蛋量为2.5万千克，4月份产蛋量为$2.5(1 + x)$万千克，5月份产蛋量为$2.5(1 + x)^2$万千克。
由题意得：$2.5(1 + x)^2=3.6$
$(1 + x)^2 = 1.44$
$1 + x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为$20\%$。
(2)6月份产蛋量为$3.6×(1 + 20\%) = 4.32$万千克
每个销售点每月平均销售量最多为$0.32$万千克，共需销售点$4.32÷0.32 = 13.5$个，向上取整为14个。
5月份产蛋量3.6万千克，5月份销售点数量为$3.6÷0.32 = 11.25$个，向上取整为12个。
至少应再增加销售点$14 - 12 = 2$个。
答：该养殖场在5月份已有的销售点的基础上至少应再增加2个销售点。
3.(2024·重庆A卷)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是
10%
.
答案：
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是$x$。
根据题意，得$40(1 + x)^2 = 48.4$
$(1 + x)^2 = 1.21$
$1 + x = \pm1.1$
解得$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（不合题意，舍去）
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是$10\%$。
根据题意，得$40(1 + x)^2 = 48.4$
$(1 + x)^2 = 1.21$
$1 + x = \pm1.1$
解得$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（不合题意，舍去）
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是$10\%$。
4.习近平总书记说:"读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气."某校为响应我区全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆400人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆1456人次,若进馆人次的月平均增长率为x,则可列方程为 (
A.$400(1+x)= 1456$
B.$400(1+x)+400(1+x)^2= 1456$
C.$400(1+x)^2= 1456$
D.$400+400(1+x)+400(1+x)^2= 1456$
D
)A.$400(1+x)= 1456$
B.$400(1+x)+400(1+x)^2= 1456$
C.$400(1+x)^2= 1456$
D.$400+400(1+x)+400(1+x)^2= 1456$
答案：
解：第一个月进馆400人次，月平均增长率为x，
则第二个月进馆人次为400(1+x)，
第三个月进馆人次为$400(1+x)^2，$
三个月累计进馆1456人次，
所以可列方程为$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1456。$
答案：D
则第二个月进馆人次为400(1+x)，
第三个月进馆人次为$400(1+x)^2，$
三个月累计进馆1456人次，
所以可列方程为$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1456。$
答案：D
例3 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至3000元,生产1吨乙种药品的成本由6000元降至3600元,所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为x,y,利用方程即可求出答案.
分析:因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至3000元,生产1吨乙种药品的成本由6000元降至3600元,所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为x,y,利用方程即可求出答案.
答案：
解：设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，根据两年前成本$5000$元，现在成本$3000$元，可列方程$5000(1 - x)^2 = 3000$，
$(1 - x)^2=\dfrac{3000}{5000}=\dfrac{3}{5}$，
$1 - x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
$x = 1\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
因为下降率$x\lt1$，所以$x = 1-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx1 - 0.775 = 0.225 = 22.5\%$。
设乙种药品成本的年平均下降率为$y$，根据两年前成本$6000$元，现在成本$3600$元，可列方程$6000(1 - y)^2 = 3600$，
$(1 - y)^2=\dfrac{3600}{6000}=\dfrac{3}{5}$，
$1 - y=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
$y = 1\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
因为下降率$y\lt1$，所以$y = 1-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx1 - 0.775 = 0.225 = 22.5\%$。
所以甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大。
$(1 - x)^2=\dfrac{3000}{5000}=\dfrac{3}{5}$，
$1 - x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
$x = 1\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
因为下降率$x\lt1$，所以$x = 1-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx1 - 0.775 = 0.225 = 22.5\%$。
设乙种药品成本的年平均下降率为$y$，根据两年前成本$6000$元，现在成本$3600$元，可列方程$6000(1 - y)^2 = 3600$，
$(1 - y)^2=\dfrac{3600}{6000}=\dfrac{3}{5}$，
$1 - y=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
$y = 1\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
因为下降率$y\lt1$，所以$y = 1-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx1 - 0.775 = 0.225 = 22.5\%$。
所以甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大。
查看更多完整答案，请扫码查看
