《2025年巅峰对决九年级数学上册人教版》

3.如图,若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH,则旋转中心应是(D)

A.点H
B.点N
C.点C
D.点M

答案： 【解析】：本题考查图形旋转的性质及旋转中心的确定方法。
正方形$ABCD$绕某点逆时针旋转$90^{\circ}$得到正方形$EFGH$，需要找到旋转中心。
观察图形，可以发现点$D$旋转后到了点$H$的位置，点$C$旋转后到了点$G$的位置。
由于旋转是$90^{\circ}$，可以推断出旋转中心应当位于连接对应点所成线段的垂直平分线上。
分别作线段$DH$和$CG$的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心。
通过作图或逻辑推理，可以确定这个交点是点$M$。
【答案】：D。

4.如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到格点$△A_1B_1C_1,$点A与点$A_1,$点B与点$B_1,$点C与点$C_1$是对应点,则α= ______度.

90

答案： 解：连接AA₁、BB₁，分别作AA₁、BB₁的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，点O即为旋转中心。连接OA、OA₁，通过网格计算可得OA=OA₁，且∠AOA₁=90°，故α=90度。
90

例3 如图,在△ABC和△ADE中,AB= AC,AD= AE,∠BAC+∠EAD= 180°,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE,CD,F为BE的中点,连接AF.
(1)如图1,当∠BAE= 90°时,求证:CD= 2AF.
(2)当∠BAE≠90°时,(1)题中的结论是否成立?请结合图2说明理由.
分析:(1)因为AF是Rt△ABE的中线,所以BE= 2AF,然后通过△ABE≌△ACD即可求得;(2)延长EA交BC于点G,在AG上截取AH= AD,证△ABH≌△ACD,从而得BH= CD,然后根据三角形的中位线等于底边的一半,求得BH= 2AF,即可得结论.

答案：
(1)证明：
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=180°-∠BAE=90°，
∵F为BE中点，∠BAE=90°，
∴BE=2AF（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
在△ABE和△ACD中，
AB=AC，∠BAE=∠CAD=90°，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∴CD=2AF．
(2)解：结论成立．
延长EA至H，使AH=AE，连接BH，
∵F为BE中点，AH=AE，
∴AF是△EBH的中位线，
∴BH=2AF，
∵AD=AE，
∴AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠EAD+∠HAD=180°，
∴∠BAC=∠HAD，
∴∠BAC+∠BAH=∠HAD+∠BAH，即∠BAH=∠CAD，
在△ABH和△ACD中，
AB=AC，∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴BH=CD，
∵BH=2AF，
∴CD=2AF．

5.(2024·北京)如图,在菱形ABCD中,∠BAD= 60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中,所有正确结论的序号是(B)
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

答案： 解：设菱形ABCD对角线AC、BD交于O，令OA=1，OB=√3（∠BAD=60°，菱形对角线性质）。
旋转90°后，菱形A'B'C'D'顶点坐标可求（以O为原点建立坐标系）。通过计算各交点E、F、G、H及顶点B、B'、D、D'坐标，得：
① 八边形各边长：通过距离公式计算，所有边长均为√2，相等。
② 各内角：相邻边斜率乘积不同，内角不都相等。
③ 点O到各顶点距离：OB=√3，OE=1，不相等。
④ 点O到各边所在直线距离：由对称性及菱形性质，距离均为√2/2，相等。
正确结论序号：①④
答案：B

1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.

答案： 180°；重合；关于这个点对称；中心对称；对称中心；对称点

2.中心对称的性质.
(1)在成中心对称的两个图形中,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分;
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形;
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
3.对比中心对称与轴对称.
| 轴对称 | 中心对称 |
| --- | --- |
| 有至少一条对称轴——直线 | 有一个对称中心——点 |
| 图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合 | 图形绕对称中心旋转180°后重合 |
| 折叠后与另一图形重合 | 旋转后与另一图形重合 |
| 对称点的连线被对称轴垂直平分 | 对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分 |

答案： 【解析】：
本题主要考察了中心对称的性质以及中心对称与轴对称的对比。
对于中心对称的性质部分：
(1) 在成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。这是中心对称的基本性质。
(2) 关于中心对称的两个图形是全等图形，因为两个图形可以通过旋转180度完全重合。
(3) 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
对于中心对称与轴对称的对比部分：
表格中详细列出了轴对称和中心对称的不同特点，包括对称轴或对称中心、图形变换方式以及对称点的连线性质等。
【答案】：
(1) 在成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
(2) 关于中心对称的两个图形是全等图形；
(3) 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.对比中心对称与轴对称.
| 轴对称 | 中心对称 |
| --- | --- |
| 有至少一条对称轴——直线 | 有一个对称中心——点 |
| 图形沿对称轴对折(翻折180°)后重合 | 图形绕对称中心旋转180°后重合 |
| 折叠后与另一图形重合 | 旋转后与另一图形重合 |
| 对称点的连线被对称轴垂直平分 | 对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分 |

答案： 【解析】：
本题要求对比中心对称与轴对称的性质和特点。题目已经给出了轴对称和中心对称的基本定义和性质，包括对称轴、对称中心、对称操作（翻折或旋转）以及对称点的连线性质。我们需要根据这些信息，对两者进行对比分析。
轴对称是指图形关于某条直线（对称轴）对称，即图形上的每一点关于对称轴都有对称点，且这两点与对称轴的距离相等，连线被对称轴垂直平分。
中心对称是指图形关于某一点（对称中心）对称，即图形上的每一点关于对称中心都有对称点，且这两点与对称中心的连线在同一直线上，但方向相反，连线被对称中心平分。
【答案】：
轴对称与中心对称的对比：
轴对称：
对称轴：至少有一条对称轴，为直线。
对称操作：图形沿对称轴对折（翻折$180^\circ$）后重合。
对称点连线：对称点的连线被对称轴垂直平分。
中心对称：
对称中心：有一个对称中心，为点。
对称操作：图形绕对称中心旋转$180^\circ$后重合。
对称点连线：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。