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5.(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是 (
A.$80(1-x^2)= 60$
B.$80(1-x)^2= 60$
C.$80(1-x)= 60$
D.$80(1-2x)= 60$
B
)A.$80(1-x^2)= 60$
B.$80(1-x)^2= 60$
C.$80(1-x)= 60$
D.$80(1-2x)= 60$
答案：
解：设甲种药品成本的年平均下降率为$x$。
一年前生产1千克甲种药品的成本为$80(1 - x)$元。
现在（两年后）生产1千克甲种药品的成本为$80(1 - x)^2$元。
已知现在成本为60元，所以方程为$80(1 - x)^2 = 60$。
答案：B
一年前生产1千克甲种药品的成本为$80(1 - x)$元。
现在（两年后）生产1千克甲种药品的成本为$80(1 - x)^2$元。
已知现在成本为60元，所以方程为$80(1 - x)^2 = 60$。
答案：B
6.(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为 (
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
)A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案：
解：设每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的价格为$48(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$48(1 - x)^2$元。
依题意，得$48(1 - x)^2 = 27$
方程两边同时除以48：$(1 - x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
开平方：$1 - x = \pm \frac{3}{4}$
解得$x_1 = 1 - \frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，$x_2 = 1 + \frac{3}{4} = 1.75$（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率为25%，选C。
第一次降价后的价格为$48(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$48(1 - x)^2$元。
依题意，得$48(1 - x)^2 = 27$
方程两边同时除以48：$(1 - x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
开平方：$1 - x = \pm \frac{3}{4}$
解得$x_1 = 1 - \frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，$x_2 = 1 + \frac{3}{4} = 1.75$（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率为25%，选C。
2.(1)三角形的面积公式是
(2)矩形的面积公式是
(3)平行四边形的面积公式是
(4)菱形的面积公式是
(5)梯形的面积公式是
(6)圆的面积公式是
$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
;(2)矩形的面积公式是
$S=ab$（$a$为长，$b$为宽）
;(3)平行四边形的面积公式是
$S=ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
;(4)菱形的面积公式是
$S=\frac{1}{2}mn$（$m$、$n$为两条对角线的长）
;(5)梯形的面积公式是
$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$、$b$为上底和下底的长，$h$为高）
;(6)圆的面积公式是
$S=\pi r^2$（$r$为半径）
.
答案：
(1)$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
(2)$S=ab$（$a$为长，$b$为宽）
(3)$S=ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
(4)$S=\frac{1}{2}mn$（$m$、$n$为两条对角线的长）
(5)$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$、$b$为上底和下底的长，$h$为高）
(6)$S=\pi r^2$（$r$为半径）
(1)$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
(2)$S=ab$（$a$为长，$b$为宽）
(3)$S=ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高）
(4)$S=\frac{1}{2}mn$（$m$、$n$为两条对角线的长）
(5)$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$、$b$为上底和下底的长，$h$为高）
(6)$S=\pi r^2$（$r$为半径）
3.如图,将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是$400 cm^3,$求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为x cm,则可得方程为
$(x - 8)^2 × 4 = 400$
.
答案：
【解析】：
首先，我们设原铁皮的边长为 $x$ cm。
然后，四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，所以剪去后的铁皮边长为 $(x - 2 × 4) = (x - 8)$ cm。
接下来，我们将剪去四角后的铁皮折成一个无盖的盒子。这个盒子的高就是 4 cm（即剪去的小正方形的边长），底面是一个边长为 $(x - 8)$ cm 的正方形。
最后，根据题目，这个盒子的容积是 $400$ $cm^3$。
容积的计算公式是：$\text{容积} = \text{底面积} × \text{高}$。
底面积是 $(x - 8)^2$ $cm^2$，高是 4 cm。
因此，我们可以建立方程：$(x - 8)^2 × 4 = 400$。
【答案】：
$(x - 8)^2 × 4 = 400$
首先，我们设原铁皮的边长为 $x$ cm。
然后，四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，所以剪去后的铁皮边长为 $(x - 2 × 4) = (x - 8)$ cm。
接下来，我们将剪去四角后的铁皮折成一个无盖的盒子。这个盒子的高就是 4 cm（即剪去的小正方形的边长），底面是一个边长为 $(x - 8)$ cm 的正方形。
最后，根据题目，这个盒子的容积是 $400$ $cm^3$。
容积的计算公式是：$\text{容积} = \text{底面积} × \text{高}$。
底面积是 $(x - 8)^2$ $cm^2$，高是 4 cm。
因此，我们可以建立方程：$(x - 8)^2 × 4 = 400$。
【答案】：
$(x - 8)^2 × 4 = 400$
例1 如图,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的$\frac{1}{4}$,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果精确到0.1 cm)?
分析:封面的长、宽之比是27:21= 9:7,中央的矩形的长、宽之比也应是9:7,可设出上、下边衬及左、右边衬的宽度,依题意建立方程即可.
分析:封面的长、宽之比是27:21= 9:7,中央的矩形的长、宽之比也应是9:7,可设出上、下边衬及左、右边衬的宽度,依题意建立方程即可.
答案：
【解析】：本题考查一元二次方程的应用，关键在于根据封面和中央矩形的长宽比例关系，以及四周彩色边衬所占面积的比例，建立合适的一元二次方程来求解边衬的宽度。
设上、下边衬的宽均为$9x cm$，左、右边衬的宽均为$7x cm$。
根据题目条件，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的$\frac{1}{4}$，即中央矩形的面积是封面面积的$\frac{3}{4}$。
封面面积为$27 × 21 cm^2$，中央矩形的长为$(27 - 18x) cm$，宽为$(21 - 14x) cm$。
因此，我们可以建立方程：
$(27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{3}{4} × 27 × 21$
展开并整理得：
$x^{2} - 2.25x + 0.75 = 0$
解这个一元二次方程，利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 1$，$b = -2.25$，$c = 0.75$，得到：
$x_{1} \approx 0.17$（舍去$x_{2} \approx 4.33$，因为$x_{2}$的值不符合实际情况）
因此，上、下边衬的宽度为：$9 × 0.17 \approx 1.5 cm$
左、右边衬的宽度为：$7 × 0.17 \approx 1.2 cm$
【答案】：上、下边衬的宽度约为$1.5 cm$，左、右边衬的宽度约为$1.2 cm$。
设上、下边衬的宽均为$9x cm$，左、右边衬的宽均为$7x cm$。
根据题目条件，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的$\frac{1}{4}$，即中央矩形的面积是封面面积的$\frac{3}{4}$。
封面面积为$27 × 21 cm^2$，中央矩形的长为$(27 - 18x) cm$，宽为$(21 - 14x) cm$。
因此，我们可以建立方程：
$(27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{3}{4} × 27 × 21$
展开并整理得：
$x^{2} - 2.25x + 0.75 = 0$
解这个一元二次方程，利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 1$，$b = -2.25$，$c = 0.75$，得到：
$x_{1} \approx 0.17$（舍去$x_{2} \approx 4.33$，因为$x_{2}$的值不符合实际情况）
因此，上、下边衬的宽度为：$9 × 0.17 \approx 1.5 cm$
左、右边衬的宽度为：$7 × 0.17 \approx 1.2 cm$
【答案】：上、下边衬的宽度约为$1.5 cm$，左、右边衬的宽度约为$1.2 cm$。
1.如图所示是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成一个底面积是$24 cm^2$的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为 (
A.$\frac{1}{2}$ cm
B.1 cm
C.$\frac{3}{2}$ cm
D.2 cm
D
)A.$\frac{1}{2}$ cm
B.1 cm
C.$\frac{3}{2}$ cm
D.2 cm
答案：
【解析】：本题可通过设未知数，根据长方体底面积的等量关系列出一元二次方程，进而求解得到剪去的正方形的边长。
设剪去的正方形的边长为$x cm$。
观察图形可知，制成有盖长方体铁盒的底面长方形的长为$(12 - 2x)cm$，宽为$(10 - 2x)÷2=(5 - x)cm$。
已知底面积是$24cm^2$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(12 - 2x)(5 - x) = 24$。
接下来求解该方程：
步骤一：展开方程左边
$(12 - 2x)(5 - x)=12×5-12x-2x×5 + 2x^2=60 - 12x - 10x + 2x^2=2x^2 - 22x + 60$
此时方程变为$2x^2 - 22x + 60 = 24$。
步骤二：化简方程
方程两边同时除以$2$，得到$x^2 - 11x + 30 = 12$，移项化为标准的一元二次方程形式$x^2 - 11x + 18 = 0$。
步骤三：求解方程
对于一元二次方程$x^2 - 11x + 18 = 0$，我们可使用因式分解法，将方程分解为$(x - 2)(x - 9) = 0$。
则$x - 2 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
步骤四：检验解的合理性
因为矩形铁皮宽为$10cm$，$x$表示剪去的正方形边长，所以$x\lt5$（若$x\geq5$，则$10 - 2x\leq0$，无法制成有盖长方体铁盒），而$9\gt5$，不符合实际情况，应舍去。
所以$x = 2$，即剪去的正方形的边长为$2cm$。
【答案】：D
设剪去的正方形的边长为$x cm$。
观察图形可知，制成有盖长方体铁盒的底面长方形的长为$(12 - 2x)cm$，宽为$(10 - 2x)÷2=(5 - x)cm$。
已知底面积是$24cm^2$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(12 - 2x)(5 - x) = 24$。
接下来求解该方程：
步骤一：展开方程左边
$(12 - 2x)(5 - x)=12×5-12x-2x×5 + 2x^2=60 - 12x - 10x + 2x^2=2x^2 - 22x + 60$
此时方程变为$2x^2 - 22x + 60 = 24$。
步骤二：化简方程
方程两边同时除以$2$，得到$x^2 - 11x + 30 = 12$，移项化为标准的一元二次方程形式$x^2 - 11x + 18 = 0$。
步骤三：求解方程
对于一元二次方程$x^2 - 11x + 18 = 0$，我们可使用因式分解法，将方程分解为$(x - 2)(x - 9) = 0$。
则$x - 2 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
步骤四：检验解的合理性
因为矩形铁皮宽为$10cm$，$x$表示剪去的正方形边长，所以$x\lt5$（若$x\geq5$，则$10 - 2x\leq0$，无法制成有盖长方体铁盒），而$9\gt5$，不符合实际情况，应舍去。
所以$x = 2$，即剪去的正方形的边长为$2cm$。
【答案】：D
2.(2022·衢州)将一个容积为$360 cm^3$的包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程:
$15x(20 - 2x)=360$
(不必化简).
答案：
解：由图可知，长方体包装盒底面的长为$(20 - 2x)cm$，宽为$(15 - x)cm$，高为$x cm$。
根据长方体容积公式$V = 长×宽×高$，已知容积$V = 360cm^3$，可列出方程：
$15x(20 - 2x)=360$
故答案为$15x(20 - 2x)=360$。
根据长方体容积公式$V = 长×宽×高$，已知容积$V = 360cm^3$，可列出方程：
$15x(20 - 2x)=360$
故答案为$15x(20 - 2x)=360$。
例2 如图,利用一面墙(墙的长度不超过45 m),用80 m长的篱笆围成一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m^2?
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m^2?为什么?
分析:(1)设所围矩形ABCD的长AB为x m,则宽AD为$\frac{1}{2}(80-x)$m,根据矩形面积的计算方法列出方程求解;(2)假设矩形场地的面积为810 m^2,看能否解出符合题意的x,即可判断.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m^2?
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m^2?为什么?
分析:(1)设所围矩形ABCD的长AB为x m,则宽AD为$\frac{1}{2}(80-x)$m,根据矩形面积的计算方法列出方程求解;(2)假设矩形场地的面积为810 m^2,看能否解出符合题意的x,即可判断.
答案：
【解析】：
(1) 设所围矩形ABCD的长AB为$x$米，那么宽AD就是$\frac{1}{2}(80 - x)$米，
根据矩形面积公式：$面积=长 × 宽$，
我们可以得到方程：$x × \frac{1}{2}(80 - x) = 750$，
整理得：
$x^{2} - 80x + 1500 = 0$，
接下来，我们利用求根公式来解这个一元二次方程，
求根公式为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
其中，$a = 1, b = -80, c = 1500$，
代入求根公式，得到：
$x = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^{2} - 4 × 1 × 1500}}{2 × 1}$
$= \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 6000}}{2}$
$= \frac{80 \pm \sqrt{400}}{2}$
$= \frac{80 \pm 20}{2}$
所以，$x_{1} = 50, x_{2} = 30$，
由于墙的长度不超过45米，而$x_{1} = 50$米大于45米，不符合题意，所以舍去这个解，
只取$x_{2} = 30$米，此时，宽AD为$\frac{1}{2}(80 - 30) = 25$米，
所以，当所围矩形的长为30米、宽为25米时，能使矩形的面积为750平方米。
(2) 假设能围成810平方米的矩形场地，
则我们可以列出方程：$x × \frac{1}{2}(80 - x) = 810$，
整理得：$x^{2} - 80x + 1620 = 0$，
接下来，我们计算这个一元二次方程的判别式$\Delta$，
判别式公式为：$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = -80, c = 1620$，
代入公式，得到：$\Delta = (-80)^{2} - 4 × 1 × 1620 = 6400 - 6480 = -80$，
由于$\Delta ＜ 0$，根据一元二次方程的根的判别式，我们知道这个方程无实数根，
所以，不能围成面积为810平方米的矩形场地。
【答案】：
(1) 当矩形的长为30米、宽为25米时，矩形场地的面积为750平方米；
(2) 不能，因为方程无实数根。
(1) 设所围矩形ABCD的长AB为$x$米，那么宽AD就是$\frac{1}{2}(80 - x)$米，
根据矩形面积公式：$面积=长 × 宽$，
我们可以得到方程：$x × \frac{1}{2}(80 - x) = 750$，
整理得：
$x^{2} - 80x + 1500 = 0$，
接下来，我们利用求根公式来解这个一元二次方程，
求根公式为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
其中，$a = 1, b = -80, c = 1500$，
代入求根公式，得到：
$x = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^{2} - 4 × 1 × 1500}}{2 × 1}$
$= \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 6000}}{2}$
$= \frac{80 \pm \sqrt{400}}{2}$
$= \frac{80 \pm 20}{2}$
所以，$x_{1} = 50, x_{2} = 30$，
由于墙的长度不超过45米，而$x_{1} = 50$米大于45米，不符合题意，所以舍去这个解，
只取$x_{2} = 30$米，此时，宽AD为$\frac{1}{2}(80 - 30) = 25$米，
所以，当所围矩形的长为30米、宽为25米时，能使矩形的面积为750平方米。
(2) 假设能围成810平方米的矩形场地，
则我们可以列出方程：$x × \frac{1}{2}(80 - x) = 810$，
整理得：$x^{2} - 80x + 1620 = 0$，
接下来，我们计算这个一元二次方程的判别式$\Delta$，
判别式公式为：$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = -80, c = 1620$，
代入公式，得到：$\Delta = (-80)^{2} - 4 × 1 × 1620 = 6400 - 6480 = -80$，
由于$\Delta ＜ 0$，根据一元二次方程的根的判别式，我们知道这个方程无实数根，
所以，不能围成面积为810平方米的矩形场地。
【答案】：
(1) 当矩形的长为30米、宽为25米时，矩形场地的面积为750平方米；
(2) 不能，因为方程无实数根。
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