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1.用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-7x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}-11x - 15 = 0$.
(1)$x^{2}-7x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}-11x - 15 = 0$.
答案：
【解析】：
本题主要考查使用公式法解一元二次方程。
公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于方程$ax^{2}+bx+c=0$，需要先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，然后根据判别式的值判断方程的根的情况，最后代入求根公式求解。
(1)对于方程$x^{2}-7x - 1 = 0$，$a = 1$，$b = -7$，$c = -1$，先计算判别式$\Delta$，再代入求根公式求解。
(2)对于方程$2x^{2}-11x - 15 = 0$，$a = 2$，$b = -11$，$c = -15$，同样先计算判别式$\Delta$，再代入求根公式求解。
【答案】：
解：
(1)对于方程$x^{2}-7x - 1 = 0$，
∵$a = 1$，$b = -7$，$c = -1$，
∴$\Delta=(-7)^{2}-4×1×(-1)=49 + 4 = 53\gt0$，
∴$x=\frac{7\pm\sqrt{53}}{2×1}=\frac{7\pm\sqrt{53}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{7 + \sqrt{53}}{2}$，$x_{2}=\frac{7 - \sqrt{53}}{2}$。
(2)对于方程$2x^{2}-11x - 15 = 0$，
∵$a = 2$，$b = -11$，$c = -15$，
∴$\Delta=(-11)^{2}-4×2×(-15)=121 + 120 = 241\gt0$，
∴$x=\frac{11\pm\sqrt{241}}{2×2}=\frac{11\pm\sqrt{241}}{4}$，
即$x_{1}=\frac{11 + \sqrt{241}}{4}$，$x_{2}=\frac{11 - \sqrt{241}}{4}$。
本题主要考查使用公式法解一元二次方程。
公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于方程$ax^{2}+bx+c=0$，需要先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，然后根据判别式的值判断方程的根的情况，最后代入求根公式求解。
(1)对于方程$x^{2}-7x - 1 = 0$，$a = 1$，$b = -7$，$c = -1$，先计算判别式$\Delta$，再代入求根公式求解。
(2)对于方程$2x^{2}-11x - 15 = 0$，$a = 2$，$b = -11$，$c = -15$，同样先计算判别式$\Delta$，再代入求根公式求解。
【答案】：
解：
(1)对于方程$x^{2}-7x - 1 = 0$，
∵$a = 1$，$b = -7$，$c = -1$，
∴$\Delta=(-7)^{2}-4×1×(-1)=49 + 4 = 53\gt0$，
∴$x=\frac{7\pm\sqrt{53}}{2×1}=\frac{7\pm\sqrt{53}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{7 + \sqrt{53}}{2}$，$x_{2}=\frac{7 - \sqrt{53}}{2}$。
(2)对于方程$2x^{2}-11x - 15 = 0$，
∵$a = 2$，$b = -11$，$c = -15$，
∴$\Delta=(-11)^{2}-4×2×(-15)=121 + 120 = 241\gt0$，
∴$x=\frac{11\pm\sqrt{241}}{2×2}=\frac{11\pm\sqrt{241}}{4}$，
即$x_{1}=\frac{11 + \sqrt{241}}{4}$，$x_{2}=\frac{11 - \sqrt{241}}{4}$。
例2 当$m$为何值时,关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}-(2m - 3)x + m + 1 = 0$具有下列情况：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
(4)有实数根？
分析：根据一元二次方程解的多少来确定系数中字母的取值范围,一定要注意判别式的使用前提：
①一元二次方程为一般式；②二次项系数不为0.
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
(4)有实数根？
分析：根据一元二次方程解的多少来确定系数中字母的取值范围,一定要注意判别式的使用前提：
①一元二次方程为一般式；②二次项系数不为0.
答案：
解：方程为一元二次方程，故$m + 1 \neq 0$，即$m \neq -1$。
$\Delta = [-(2m - 3)]^2 - 4(m + 1)(m + 1)$
$= (2m - 3)^2 - 4(m + 1)^2$
$= 4m^2 - 12m + 9 - 4(m^2 + 2m + 1)$
$= 4m^2 - 12m + 9 - 4m^2 - 8m - 4$
$= -20m + 5$
(1) 方程有两个不相等的实数根，$\Delta ＞ 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 ＞ 0$
$-20m ＞ -5$
$m ＜ \frac{1}{4}$
综上，$m ＜ \frac{1}{4}$且$m \neq -1$
(2) 方程有两个相等的实数根，$\Delta = 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 = 0$
$-20m = -5$
$m = \frac{1}{4}$
综上，$m = \frac{1}{4}$
(3) 方程没有实数根，$\Delta ＜ 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 ＜ 0$
$-20m ＜ -5$
$m ＞ \frac{1}{4}$
综上，$m ＞ \frac{1}{4}$
(4) 当方程为一元二次方程时，有实数根需$\Delta \geq 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 \geq 0$
$m \leq \frac{1}{4}$且$m \neq -1$
当方程为一元一次方程时，$m + 1 = 0$，即$m = -1$
此时方程为$-(2×(-1) - 3)x + (-1) + 1 = 0$
$-(-2 - 3)x + 0 = 0$
$5x = 0$，有实数根
综上，$m \leq \frac{1}{4}$
$\Delta = [-(2m - 3)]^2 - 4(m + 1)(m + 1)$
$= (2m - 3)^2 - 4(m + 1)^2$
$= 4m^2 - 12m + 9 - 4(m^2 + 2m + 1)$
$= 4m^2 - 12m + 9 - 4m^2 - 8m - 4$
$= -20m + 5$
(1) 方程有两个不相等的实数根，$\Delta ＞ 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 ＞ 0$
$-20m ＞ -5$
$m ＜ \frac{1}{4}$
综上，$m ＜ \frac{1}{4}$且$m \neq -1$
(2) 方程有两个相等的实数根，$\Delta = 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 = 0$
$-20m = -5$
$m = \frac{1}{4}$
综上，$m = \frac{1}{4}$
(3) 方程没有实数根，$\Delta ＜ 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 ＜ 0$
$-20m ＜ -5$
$m ＞ \frac{1}{4}$
综上，$m ＞ \frac{1}{4}$
(4) 当方程为一元二次方程时，有实数根需$\Delta \geq 0$且$m \neq -1$
$-20m + 5 \geq 0$
$m \leq \frac{1}{4}$且$m \neq -1$
当方程为一元一次方程时，$m + 1 = 0$，即$m = -1$
此时方程为$-(2×(-1) - 3)x + (-1) + 1 = 0$
$-(-2 - 3)x + 0 = 0$
$5x = 0$，有实数根
综上，$m \leq \frac{1}{4}$
2.(2024·上海)下列一元二次方程有两个相等实数根的是 (
A.$x^{2}-6x = 0$
B.$x^{2}-9 = 0$
C.$x^{2}-6x + 6 = 0$
D.$x^{2}-6x + 9 = 0$
D
)A.$x^{2}-6x = 0$
B.$x^{2}-9 = 0$
C.$x^{2}-6x + 6 = 0$
D.$x^{2}-6x + 9 = 0$
答案：
【解析】：
本题考查一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于选项A：$x^{2} - 6x = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 0$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 0 = 36 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故A选项错误。
对于选项B：$x^{2} - 9 = 0$，
其中$a = 1, b = 0, c = -9$，
则$\Delta = 0^{2} - 4 × 1 × (-9) = 36 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故B选项错误。
对于选项C：$x^{2} - 6x + 6 = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 6$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 6 = 12 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故C选项错误。
对于选项D：$x^{2} - 6x + 9 = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 9$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 9 = 0$，
所以方程有两个相等的实数根，故D选项正确。
【答案】：
D
本题考查一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于选项A：$x^{2} - 6x = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 0$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 0 = 36 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故A选项错误。
对于选项B：$x^{2} - 9 = 0$，
其中$a = 1, b = 0, c = -9$，
则$\Delta = 0^{2} - 4 × 1 × (-9) = 36 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故B选项错误。
对于选项C：$x^{2} - 6x + 6 = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 6$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 6 = 12 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，故C选项错误。
对于选项D：$x^{2} - 6x + 9 = 0$，
其中$a = 1, b = -6, c = 9$，
则$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 9 = 0$，
所以方程有两个相等的实数根，故D选项正确。
【答案】：
D
3.(2024·黑龙江)已知关于$x的一元二次方程(m - 2)x^{2}+4x + 2 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是 (
A.$m\leq 4$
B.$m\geq 4$
C.$m\geq - 4且m\neq 2$
D.$m\leq 4且m\neq 2$
D
)A.$m\leq 4$
B.$m\geq 4$
C.$m\geq - 4且m\neq 2$
D.$m\leq 4且m\neq 2$
答案：
解：
∵方程是一元二次方程，
∴$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$。
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta = 4^2 - 4(m - 2)×2 \geq 0$，
$16 - 8(m - 2) \geq 0$，
$16 - 8m + 16 \geq 0$，
$-8m + 32 \geq 0$，
$-8m \geq -32$，
$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$且$m \neq 2$。
答案：D
∵方程是一元二次方程，
∴$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$。
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta = 4^2 - 4(m - 2)×2 \geq 0$，
$16 - 8(m - 2) \geq 0$，
$16 - 8m + 16 \geq 0$，
$-8m + 32 \geq 0$，
$-8m \geq -32$，
$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$且$m \neq 2$。
答案：D
4.(2024·潍坊)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1 = 0$,其中$m,n满足m - 2n = 3$,则关于该方程根的情况,下列判断正确的是 (
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
)A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案：
【解析】：
首先，我们计算一元二次方程的判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
其中，$a = 1, b = -m, c = -n^{2} + mn + 1$，
代入得：
$\Delta = (-m)^{2} - 4(1)(-n^{2} + mn + 1)$
$= m^{2} - 4(-n^{2} + mn + 1)$
$= m^{2} + 4n^{2} - 4mn - 4$
$= (m - 2n)^{2} - 4$
由题意知，$m - 2n = 3$，
代入上式得：
$\Delta = 3^{2} - 4 = 5$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
C. 有两个不相等的实数根。
首先，我们计算一元二次方程的判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
其中，$a = 1, b = -m, c = -n^{2} + mn + 1$，
代入得：
$\Delta = (-m)^{2} - 4(1)(-n^{2} + mn + 1)$
$= m^{2} - 4(-n^{2} + mn + 1)$
$= m^{2} + 4n^{2} - 4mn - 4$
$= (m - 2n)^{2} - 4$
由题意知，$m - 2n = 3$，
代入上式得：
$\Delta = 3^{2} - 4 = 5$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
C. 有两个不相等的实数根。
例3 如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为$(x^{2}+17)cm$,正六边形的边长为$(x^{2}+2x)cm$(其中$x＞0$).求这两段铁丝的总长.
分析：利用正五边形与正六边形的周长相等可建立方程.
分析：利用正五边形与正六边形的周长相等可建立方程.
解：由题意得$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$
$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$
$x^{2}+12x - 85 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}+12x - 85 = 0$中，$a = 1$，$b = 12$，$c = - 85$，则：
$\Delta=b^{2}-4ac=12^{2}-4×1×(-85)=144 + 340 = 484$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{484}}{2×1}=\frac{-12\pm22}{2}$
解得$x_{1}=\frac{-12 + 22}{2}=5$，$x_{2}=\frac{-12 - 22}{2}=-17$。
因为$x\gt0$，所以$x = 5$。
正五边形的边长为$x^{2}+17 = 5^{2}+17 = 25 + 17 = 42(cm)$，则正五边形的周长为$5×42 = 210(cm)$。
因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为$2×210 = 420(cm)$。
答：这两段铁丝的总长为$420cm$。
$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$
$x^{2}+12x - 85 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}+12x - 85 = 0$中，$a = 1$，$b = 12$，$c = - 85$，则：
$\Delta=b^{2}-4ac=12^{2}-4×1×(-85)=144 + 340 = 484$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{484}}{2×1}=\frac{-12\pm22}{2}$
解得$x_{1}=\frac{-12 + 22}{2}=5$，$x_{2}=\frac{-12 - 22}{2}=-17$。
因为$x\gt0$，所以$x = 5$。
正五边形的边长为$x^{2}+17 = 5^{2}+17 = 25 + 17 = 42(cm)$，则正五边形的周长为$5×42 = 210(cm)$。
因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为$2×210 = 420(cm)$。
答：这两段铁丝的总长为$420cm$。
答案：
【解析】：
本题考查一元二次方程的应用，根据正五边形与正六边形的周长相等建立方程求解。
因为两段等长的铁丝恰好分别围成一个正五边形和一个正六边形，所以正五边形的周长等于正六边形的周长。
正五边形的边长为$(x^{2}+17)cm$，则其周长为$5(x^{2}+17)cm$；正六边形的边长为$(x^{2}+2x)cm$，则其周长为$6(x^{2}+2x)cm$。
可得到方程$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$，然后通过移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解，最后根据$x\gt0$确定$x$的值，进而求出铁丝的总长。
【答案】：
解：由题意得$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$
$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$
$x^{2}+12x - 85 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}+12x - 85 = 0$中，$a = 1$，$b = 12$，$c = - 85$，则：
$\Delta=b^{2}-4ac=12^{2}-4×1×(-85)=144 + 340 = 484$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{484}}{2×1}=\frac{-12\pm22}{2}$
解得$x_{1}=\frac{-12 + 22}{2}=5$，$x_{2}=\frac{-12 - 22}{2}=-17$。
因为$x\gt0$，所以$x = 5$。
正五边形的边长为$x^{2}+17 = 5^{2}+17 = 25 + 17 = 42(cm)$，则正五边形的周长为$5×42 = 210(cm)$。
因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为$2×210 = 420(cm)$。
答：这两段铁丝的总长为$420cm$。
本题考查一元二次方程的应用，根据正五边形与正六边形的周长相等建立方程求解。
因为两段等长的铁丝恰好分别围成一个正五边形和一个正六边形，所以正五边形的周长等于正六边形的周长。
正五边形的边长为$(x^{2}+17)cm$，则其周长为$5(x^{2}+17)cm$；正六边形的边长为$(x^{2}+2x)cm$，则其周长为$6(x^{2}+2x)cm$。
可得到方程$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$，然后通过移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解，最后根据$x\gt0$确定$x$的值，进而求出铁丝的总长。
【答案】：
解：由题意得$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$
$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$
$x^{2}+12x - 85 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}+12x - 85 = 0$中，$a = 1$，$b = 12$，$c = - 85$，则：
$\Delta=b^{2}-4ac=12^{2}-4×1×(-85)=144 + 340 = 484$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{484}}{2×1}=\frac{-12\pm22}{2}$
解得$x_{1}=\frac{-12 + 22}{2}=5$，$x_{2}=\frac{-12 - 22}{2}=-17$。
因为$x\gt0$，所以$x = 5$。
正五边形的边长为$x^{2}+17 = 5^{2}+17 = 25 + 17 = 42(cm)$，则正五边形的周长为$5×42 = 210(cm)$。
因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为$2×210 = 420(cm)$。
答：这两段铁丝的总长为$420cm$。
5.如图,用一段篱笆靠墙围成一个
大矩形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小矩形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为$19m$(篱笆恰好用完),围成的大矩形花圃的面积为$24m^{2}$,设垂直于墙的一段篱笆长为$x m$,则可列出方程为
大矩形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小矩形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为$19m$(篱笆恰好用完),围成的大矩形花圃的面积为$24m^{2}$,设垂直于墙的一段篱笆长为$x m$,则可列出方程为$x(19 - 3x) = 24$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，通过设未知数，利用篱笆总长和花圃面积的关系来列方程。
已知垂直于墙的一段篱笆长为$x m$，由于篱笆总长为$19m$，且靠墙处不用篱笆，那么平行于墙的一段篱笆长为$(19 - 3x)m$。
这里$19 - 3x$的由来是：整个篱笆由两部分组成，垂直于墙的有$3$段（两个小矩形各一段，中间隔开的一段），长度都是$x$，所以垂直于墙的篱笆总长为$3x$，那么平行于墙的篱笆长就等于篱笆总长$19m$减去垂直于墙的篱笆总长$3x$，即$19 - 3x$。
根据矩形的面积公式：面积$=$长$×$宽，已知围成的大矩形花圃的面积为$24m^{2}$，垂直于墙的篱笆长$x m$可看作矩形的宽，平行于墙的篱笆长$(19 - 3x)m$可看作矩形的长，所以可列出方程$x(19 - 3x) = 24$。
【答案】：
$x(19 - 3x) = 24$
本题主要考查一元二次方程的应用，通过设未知数，利用篱笆总长和花圃面积的关系来列方程。
已知垂直于墙的一段篱笆长为$x m$，由于篱笆总长为$19m$，且靠墙处不用篱笆，那么平行于墙的一段篱笆长为$(19 - 3x)m$。
这里$19 - 3x$的由来是：整个篱笆由两部分组成，垂直于墙的有$3$段（两个小矩形各一段，中间隔开的一段），长度都是$x$，所以垂直于墙的篱笆总长为$3x$，那么平行于墙的篱笆长就等于篱笆总长$19m$减去垂直于墙的篱笆总长$3x$，即$19 - 3x$。
根据矩形的面积公式：面积$=$长$×$宽，已知围成的大矩形花圃的面积为$24m^{2}$，垂直于墙的篱笆长$x m$可看作矩形的宽，平行于墙的篱笆长$(19 - 3x)m$可看作矩形的长，所以可列出方程$x(19 - 3x) = 24$。
【答案】：
$x(19 - 3x) = 24$
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