《2025年巅峰对决九年级数学上册人教版》

例1 解方程：
$(1)x^2-2x= 0；$
(2)x(x-3)= x-3；
(3)(x-3)(x+1)= 3-x；$(4)2(x-3)^2= x^2-9；$
$(5)4x^2= 4x-1；$
$(6)(x-4)^2= 4(5-2x)^2.$
分析:利用因式分解法解一元二次方程,首先要观察方程的结构,看适合用哪种方法分解,分解时要严格按照先提公因式,后用公式(平方差公式或完全平方公式)分解成两个一次式之积为0的形式,然后分别令两个一次式为0,从而得解.

答案：
(1)解：$x(x - 2)=0$
$x=0$或$x - 2=0$
$x_1=0$，$x_2=2$
(2)解：$x(x - 3)-(x - 3)=0$
$(x - 3)(x - 1)=0$
$x - 3=0$或$x - 1=0$
$x_1=3$，$x_2=1$
(3)解：$(x - 3)(x + 1)+(x - 3)=0$
$(x - 3)(x + 1 + 1)=0$
$(x - 3)(x + 2)=0$
$x - 3=0$或$x + 2=0$
$x_1=3$，$x_2=-2$
(4)解：$2(x - 3)^2-(x + 3)(x - 3)=0$
$(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)]=0$
$(x - 3)(2x - 6 - x - 3)=0$
$(x - 3)(x - 9)=0$
$x - 3=0$或$x - 9=0$
$x_1=3$，$x_2=9$
(5)解：$4x^2 - 4x + 1=0$
$(2x - 1)^2=0$
$2x - 1=0$
$x_1=x_2=\frac{1}{2}$
(6)解：$(x - 4)^2 - [2(5 - 2x)]^2=0$
$(x - 4 + 10 - 4x)(x - 4 - 10 + 4x)=0$
$(-3x + 6)(5x - 14)=0$
$-3x + 6=0$或$5x - 14=0$
$x_1=2$，$x_2=\frac{14}{5}$

1.一元二次方程$(x-1)^2= 1-x$的根是(C)
A.1
B.0
C.1和0
D.1和2

答案： 解：移项，得$(x-1)^2 + (x - 1) = 0$
因式分解，得$(x - 1)(x - 1 + 1) = 0$
即$(x - 1)x = 0$
于是$x - 1 = 0$或$x = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 0$
答案：C

2.一元二次方程$(2x-1)^2= (3+x)^2$的解是$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 4$.

答案： 解：移项，得$(2x-1)^2 - (3+x)^2 = 0$
因式分解，得$[(2x - 1) + (3 + x)][(2x - 1) - (3 + x)] = 0$
化简，得$(3x + 2)(x - 4) = 0$
则$3x + 2 = 0$或$x - 4 = 0$
解得$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 4$
$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 4$

例2 试用十字相乘法解方程：
$(1)x^2-3x-4= 0；$
$(2)x^2-7x+6= 0；$
$(3)x^2+4x-5= 0；$
$(4)y^2+2y-3= 0；$
$(5)x^2-2x-8= 0；$
$(6)x^2+5x+6= 0.$
分析：我们知道$x^2-(a+b)x+ab= (x-a)(x-b),$那么$x^2-(a+b)x+ab= 0$就可以转化为(x-a)(x-b)= 0.在对常数拆分时要注意符号.
注意：
十字相乘法除了解决二次项系数为1的方程,还可以解决二次项系数不为1的方程.
试一试：用十字相乘法解方程：
$(1)2x^2-5x-12= 0；$
$(2)3x^2-x-4= 0.$

答案： 例2 试用十字相乘法解方程：
(1) $x^2 - 3x - 4 = 0$
解：因式分解，得 $(x - 4)(x + 1) = 0$
则 $x - 4 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -1$
(2) $x^2 - 7x + 6 = 0$
解：因式分解，得 $(x - 1)(x - 6) = 0$
则 $x - 1 = 0$ 或 $x - 6 = 0$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 6$
(3) $x^2 + 4x - 5 = 0$
解：因式分解，得 $(x + 5)(x - 1) = 0$
则 $x + 5 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得 $x_1 = -5$，$x_2 = 1$
(4) $y^2 + 2y - 3 = 0$
解：因式分解，得 $(y + 3)(y - 1) = 0$
则 $y + 3 = 0$ 或 $y - 1 = 0$
解得 $y_1 = -3$，$y_2 = 1$
(5) $x^2 - 2x - 8 = 0$
解：因式分解，得 $(x - 4)(x + 2) = 0$
则 $x - 4 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$
(6) $x^2 + 5x + 6 = 0$
解：因式分解，得 $(x + 2)(x + 3) = 0$
则 $x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$
解得 $x_1 = -2$，$x_2 = -3$
试一试：用十字相乘法解方程：
(1) $2x^2 - 5x - 12 = 0$
解：因式分解，得 $(2x + 3)(x - 4) = 0$
则 $2x + 3 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得 $x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = 4$
(2) $3x^2 - x - 4 = 0$
解：因式分解，得 $(3x - 4)(x + 1) = 0$
则 $3x - 4 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得 $x_1 = \frac{4}{3}$，$x_2 = -1$

3.(2022·临沂)方程$x^2-2x-24= 0$的解是(B)
$A.x_1= 6,x_2= 4$
$B.x_1= 6,x_2= -4$
$C.x_1= -6,x_2= 4$
$D.x_1= -6,x_2= -4$

答案： 解：$x^2 - 2x - 24 = 0$
因式分解，得$(x - 6)(x + 4) = 0$
则$x - 6 = 0$或$x + 4 = 0$
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -4$
答案：B