《2025年巅峰对决九年级数学上册人教版》

1.一元二次方程的定义及根的意义
（1）方程中只含有______未知数，并且未知数的最高次数是______，这样的______方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：______（a≠0），其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______.
（2）方程的解即为方程的根.

答案： （1）一个；2；整式；$ax^{2}+bx+c=0$；$a$；$b$；$c$

3.一元二次方程根的判别式与根的关系
（1）定义：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，称$\Delta =b^{2}-4ac$是方程根的判别式.
（2）应用.
①当$b^{2}-4ac$______时，方程有______的实数根；
②当$b^{2}-4ac$______时，方程有______的实数根；
③当$b^{2}-4ac$______时，方程______.
反之也成立.
（3）运用前提：①一般式；②二次项系数不为0.

答案： （2）①$＞0$；两个不相等
②$=0$；两个相等
③$＜0$；没有实数根

（1）有下列方程：①$2x^{2}-1=0$；②$ax^{2}+bx+c=0$；③$x^{2}-2\sqrt{x}+1=0$；④$3x^{2}-1=(x-1)^{2}$；⑤$3x^{2}-\frac{5}{x}+2=0$.
其中，一定是一元二次方程的有（B）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）若方程$(m-1)x^{|m|+1}+2mx-3=0$是关于x的一元二次方程，则$m=$$-1$.
（3）若关于x的一元二次方程$(a+1)x^{2}-ax+a^{2}-1=0$的一个根为0，则$a=$1.

答案： 【解析】：
（1）本题考查一元二次方程的定义，需要判断各个方程是否满足一元二次方程的形式。
①$2x^{2}-1=0$：此方程满足一元二次方程的定义，因为它是一个整式方程，只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2。
②$ax^{2}+bx+c=0$：此方程在$a\neq0$时是一元二次方程，但题目没有明确$a$的取值，因此不能确定它是否总是一元二次方程。
③$x^{2}-2\sqrt{x}+1=0$：此方程中含有根号，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
④$3x^{2}-1=(x-1)^{2}$：展开后得到$3x^{2}-1=x^{2}-2x+1$，进一步化简为$2x^{2}+2x-2=0$，此方程满足一元二次方程的定义。
⑤$3x^{2}-\frac{5}{x}+2=0$：此方程中含有分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
综上，一定是一元二次方程的有2个。
（2）本题考查一元二次方程的定义，需要确定$m$的取值使得方程成为一元二次方程。
由于方程$(m-1)x^{|m|+1}+2mx-3=0$是关于$x$的一元二次方程，所以$|m|+1=2$，且$m-1\neq0$。
解这个方程组得到$m=-1$。
（3）本题考查一元二次方程的解的性质，需要利用给定的根来求解未知数。
由于关于$x$的一元二次方程$(a+1)x^{2}-ax+a^{2}-1=0$的一个根为0，根据一元二次方程的解的性质，将$x=0$代入方程得到$a^{2}-1=0$。
解这个方程得到$a=\pm1$。
但是，由于$a+1\neq0$，所以$a\neq-1$。
因此，$a=1$。
【答案】：
（1）B
（2）$-1$
（3）$1$

1.已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}-1=0$的一个根为0，则$a=$-1.
2.已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-3=0$的一个根为1，则$m=$2.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
对于第一个方程，已知一个根为0，可以将$x=0$代入方程，得到关于$a$的方程，然后求解得到$a$的值。
对于第二个方程，同样已知一个根为1，可以将$x=1$代入方程，得到关于$m$的方程，然后求解得到$m$的值。
【答案】：
解：
1. 将$x=0$代入方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}-1=0$，得到：
$a^{2}-1=0$
$(a-1)(a+1)=0$
解得：$a=1$或$a=-1$。
由于$a-1\neq0$，所以$a\neq1$，
因此$a=-1$。
2. 将$x=1$代入方程$x^{2}+mx-3=0$，得到：
$1+m-3=0$
解得：$m=2$。
故答案为：$-1$；$2$。

例2 用适当的方法解方程：
（1）$(2x+1)^{2}=64$；
（2）$x(3x+1)-5(x-1)=0$；
（3）$(5x-4)^{2}-(4-5x)=0$；
（4）$x(x+1)=3x$.

答案： （1）解：$(2x+1)^{2}=64$
$2x+1=\pm8$
$2x+1=8$或$2x+1=-8$
$2x=7$或$2x=-9$
$x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-\frac{9}{2}$
（2）解：$x(3x+1)-5(x-1)=0$
$3x^{2}+x -5x +5=0$
$3x^{2}-4x +5=0$
$\Delta=(-4)^{2}-4×3×5=16 - 60=-44＜0$
方程无实数根
（3）解：$(5x-4)^{2}-(4-5x)=0$
$(5x-4)^{2}+(5x-4)=0$
$(5x-4)(5x-4 +1)=0$
$(5x-4)(5x-3)=0$
$5x-4=0$或$5x-3=0$
$x_{1}=\frac{4}{5}$，$x_{2}=\frac{3}{5}$
（4）解：$x(x+1)=3x$
$x(x+1)-3x=0$
$x(x+1 - 3)=0$
$x(x - 2)=0$
$x=0$或$x - 2=0$
$x_{1}=0$，$x_{2}=2$

3.方程$x(x-5)=3(x-5)$的解是（D）
A.$x=5$
B.$x=-5$
C.$x_{1}=-5,x_{2}=3$
D.$x_{1}=5,x_{2}=3$

答案： 解：$x(x-5)=3(x-5)$
移项得：$x(x-5)-3(x-5)=0$
因式分解得：$(x-5)(x-3)=0$
则$x-5=0$或$x-3=0$
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=3$
答案：D

4.用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x-4=0$，下列变形正确的是（D）
A.$(x-6)^{2}=-4+36$
B.$(x-6)^{2}=4+36$
C.$(x-3)^{2}=-4+9$
D.$(x-3)^{2}=4+9$

答案： 解：$x^{2}-6x-4=0$
移项，得$x^{2}-6x=4$
配方，得$x^{2}-6x+9=4+9$
即$(x-3)^{2}=13$
正确变形为$(x-3)^{2}=4+9$
答案：D

（1）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（D）
A.$x^{2}+4=0$
B.$x^{2}+2x+1=0$
C.$x^{2}+2x+3=0$
D.$x^{2}+2x-3=0$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
接下来，我们将分别计算四个选项的判别式：
A. 对于方程$x^{2} + 4 = 0$，有$a = 1, b = 0, c = 4$，
则$\Delta = 0^{2} - 4 × 1 × 4 = -16 ＜ 0$，故该方程没有实数根，不符合题意；
B. 对于方程$x^{2} + 2x + 1 = 0$，有$a = 1, b = 2, c = 1$，
则$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × 1 = 0$，故该方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C. 对于方程$x^{2} + 2x + 3 = 0$，有$a = 1, b = 2, c = 3$，
则$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × 3 = -8 ＜ 0$，故该方程没有实数根，不符合题意；
D. 对于方程$x^{2} + 2x - 3 = 0$，有$a = 1, b = 2, c = -3$，
则$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × ( - 3) = 16 ＞ 0$，故该方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】：
D