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6.定义:$min\{a,b\}= \left\{\begin{array}{l} a(a≤b),\\ b(a＞b).\end{array} \right.若函数y= min\{x+1,-x^{2}+2x+3\}$,则该函数的最大值为 (
A.0
B.2
C.3
D.4
C
)A.0
B.2
C.3
D.4
答案：
1. 首先，求$x + 1=-x^{2}+2x + 3$的解：
对$x + 1=-x^{2}+2x + 3$进行移项，得到$x^{2}-x - 2 = 0$。
根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 1$，$b=-1$，$c=-2$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8 = 9$。
所以$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$，解得$x_1=-1$，$x_2 = 2$。
2. 然后，分区间讨论$y = min\{x + 1,-x^{2}+2x + 3\}$：
当$x\leq - 1$时：
比较$x + 1$与$-x^{2}+2x + 3$的大小，令$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=x^{2}-x - 2=(x + 1)(x - 2)$。当$x\leq - 1$时，$f(x)\geq0$，即$x + 1\geq - x^{2}+2x + 3$，所以$y=-x^{2}+2x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，其对称轴为$x = 1$，在$x\leq - 1$上单调递减，所以$y\leq -(-1)^{2}+2×(-1)+3=0$。
当$-1\lt x\lt2$时：
此时$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=(x + 1)(x - 2)\lt0$，即$x + 1\lt - x^{2}+2x + 3$，所以$y=x + 1$。
因为$y=x + 1$在$(-1,2)$上单调递增，所以$0\lt y\lt3$。
当$x\geq2$时：
此时$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=(x + 1)(x - 2)\geq0$，即$x + 1\geq - x^{2}+2x + 3$，所以$y=-x^{2}+2x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，其对称轴为$x = 1$，在$x\geq2$上单调递减，所以$y\leq -2^{2}+2×2+3=3$。
综上，函数$y = min\{x + 1,-x^{2}+2x + 3\}$的最大值为$3$，答案是C。
对$x + 1=-x^{2}+2x + 3$进行移项，得到$x^{2}-x - 2 = 0$。
根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 1$，$b=-1$，$c=-2$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8 = 9$。
所以$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$，解得$x_1=-1$，$x_2 = 2$。
2. 然后，分区间讨论$y = min\{x + 1,-x^{2}+2x + 3\}$：
当$x\leq - 1$时：
比较$x + 1$与$-x^{2}+2x + 3$的大小，令$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=x^{2}-x - 2=(x + 1)(x - 2)$。当$x\leq - 1$时，$f(x)\geq0$，即$x + 1\geq - x^{2}+2x + 3$，所以$y=-x^{2}+2x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，其对称轴为$x = 1$，在$x\leq - 1$上单调递减，所以$y\leq -(-1)^{2}+2×(-1)+3=0$。
当$-1\lt x\lt2$时：
此时$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=(x + 1)(x - 2)\lt0$，即$x + 1\lt - x^{2}+2x + 3$，所以$y=x + 1$。
因为$y=x + 1$在$(-1,2)$上单调递增，所以$0\lt y\lt3$。
当$x\geq2$时：
此时$f(x)=(x + 1)-(-x^{2}+2x + 3)=(x + 1)(x - 2)\geq0$，即$x + 1\geq - x^{2}+2x + 3$，所以$y=-x^{2}+2x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，其对称轴为$x = 1$，在$x\geq2$上单调递减，所以$y\leq -2^{2}+2×2+3=3$。
综上，函数$y = min\{x + 1,-x^{2}+2x + 3\}$的最大值为$3$，答案是C。
7.若二次函数$y= x^{2}-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m$,则$m$的值为______
4
.
答案：
【解析】：
首先，二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$可以转化为顶点形式：
$y = (x - 1)^{2} - 4$
由此，我们知道函数的顶点为$(1, -4)$，并且函数的对称轴为$x = 1$。
考虑到函数图像上有且仅有三个点到$x$轴的距离等于$m$，我们可以推断出这三个点中必然包括顶点$(1, -4)$，因为顶点是函数图像上离$x$轴最远的点（在对称轴上）。
所以，$m$应该等于顶点到$x$轴的距离，即$|-4| = 4$中的正值，因为距离总是非负的。
但考虑到题目中说到“有且只有三个点到$x$轴的距离等于$m$”，我们需要确认在$y=m$和$y=-m$时，直线与二次函数图像只有三个交点。
由于二次函数图像关于对称轴对称，当$m=4$时，直线$y=4$与二次函数图像有两个交点（关于对称轴对称），而直线$y=-4$与二次函数图像只有一个交点（即顶点）。
所以满足条件的$m$的值为$4$（因为$m$表示的是距离，所以只取正值）。
【答案】：
$4$
首先，二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$可以转化为顶点形式：
$y = (x - 1)^{2} - 4$
由此，我们知道函数的顶点为$(1, -4)$，并且函数的对称轴为$x = 1$。
考虑到函数图像上有且仅有三个点到$x$轴的距离等于$m$，我们可以推断出这三个点中必然包括顶点$(1, -4)$，因为顶点是函数图像上离$x$轴最远的点（在对称轴上）。
所以，$m$应该等于顶点到$x$轴的距离，即$|-4| = 4$中的正值，因为距离总是非负的。
但考虑到题目中说到“有且只有三个点到$x$轴的距离等于$m$”，我们需要确认在$y=m$和$y=-m$时，直线与二次函数图像只有三个交点。
由于二次函数图像关于对称轴对称，当$m=4$时，直线$y=4$与二次函数图像有两个交点（关于对称轴对称），而直线$y=-4$与二次函数图像只有一个交点（即顶点）。
所以满足条件的$m$的值为$4$（因为$m$表示的是距离，所以只取正值）。
【答案】：
$4$
8.(2024·青岛)二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,对称轴是直线$x= -1$,则过点$M(c,2a-b)和点N(b^{2}-4ac,a-b+c)$的直线一定不经过 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
1. 首先，根据二次函数对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}$：
已知对称轴$x=-1$，由$x =-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b = 2a$。
因为抛物线开口向上，所以$a\gt0$，则$b = 2a\gt0$。
当$x = 0$时，$y=c\gt0$。
又因为抛物线与$x$轴无交点，所以$\Delta=b^{2}-4ac\lt0$。
2. 然后，求$2a - b$和$a - b + c$的值：
把$b = 2a$代入$2a - b$，得$2a - b=2a-2a = 0$。
把$b = 2a$代入$a - b + c$，得$a - b + c=a-2a + c=c - a$。
因为$a\gt0$，$c\gt0$，且由对称轴$x=-1$，当$x = 1$时，$y=a + b + c\gt0$，$b = 2a$，所以$y=a + 2a + c=3a + c\gt0$，$c\gt - 3a$，$c - a\gt - 4a$，又$a\gt0$，$c - a=c-\frac{b}{2}$，当$x=-1$时，$y=a - b + c\lt0$（因为顶点在$x$轴下方，$y = a(-1)^{2}+b(-1)+c=a - b + c$）。
3. 接着，确定$M$，$N$两点的坐标：
已知$M(c,2a - b)$，$N(b^{2}-4ac,a - b + c)$，因为$2a - b = 0$，所以$M(c,0)$，因为$b^{2}-4ac\lt0$，$a - b + c\lt0$，所以$N(x_{N},y_{N})$中$x_{N}\lt0$，$y_{N}\lt0$。
4. 最后，设直线$MN$的解析式为$y=kx + d(k\neq0)$：
把$M(c,0)$，$N(x_{N},y_{N})$代入$y = kx + d$得$\begin{cases}kc + d = 0\\kx_{N}+d=y_{N}\end{cases}$，两式相减得$k(c - x_{N})=-y_{N}$，因为$c\gt0$，$x_{N}\lt0$，$y_{N}\lt0$，所以$k=\frac{-y_{N}}{c - x_{N}}\gt0$。
把$x = 0$代入$y=kx + d$得$y = d$，由$kc + d = 0$，$k\gt0$，$c\gt0$，得$d=-kc\lt0$。
直线$y = kx + d(k\gt0,d\lt0)$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
答案是B。
已知对称轴$x=-1$，由$x =-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b = 2a$。
因为抛物线开口向上，所以$a\gt0$，则$b = 2a\gt0$。
当$x = 0$时，$y=c\gt0$。
又因为抛物线与$x$轴无交点，所以$\Delta=b^{2}-4ac\lt0$。
2. 然后，求$2a - b$和$a - b + c$的值：
把$b = 2a$代入$2a - b$，得$2a - b=2a-2a = 0$。
把$b = 2a$代入$a - b + c$，得$a - b + c=a-2a + c=c - a$。
因为$a\gt0$，$c\gt0$，且由对称轴$x=-1$，当$x = 1$时，$y=a + b + c\gt0$，$b = 2a$，所以$y=a + 2a + c=3a + c\gt0$，$c\gt - 3a$，$c - a\gt - 4a$，又$a\gt0$，$c - a=c-\frac{b}{2}$，当$x=-1$时，$y=a - b + c\lt0$（因为顶点在$x$轴下方，$y = a(-1)^{2}+b(-1)+c=a - b + c$）。
3. 接着，确定$M$，$N$两点的坐标：
已知$M(c,2a - b)$，$N(b^{2}-4ac,a - b + c)$，因为$2a - b = 0$，所以$M(c,0)$，因为$b^{2}-4ac\lt0$，$a - b + c\lt0$，所以$N(x_{N},y_{N})$中$x_{N}\lt0$，$y_{N}\lt0$。
4. 最后，设直线$MN$的解析式为$y=kx + d(k\neq0)$：
把$M(c,0)$，$N(x_{N},y_{N})$代入$y = kx + d$得$\begin{cases}kc + d = 0\\kx_{N}+d=y_{N}\end{cases}$，两式相减得$k(c - x_{N})=-y_{N}$，因为$c\gt0$，$x_{N}\lt0$，$y_{N}\lt0$，所以$k=\frac{-y_{N}}{c - x_{N}}\gt0$。
把$x = 0$代入$y=kx + d$得$y = d$，由$kc + d = 0$，$k\gt0$，$c\gt0$，得$d=-kc\lt0$。
直线$y = kx + d(k\gt0,d\lt0)$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
答案是B。
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