《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

11.垂直于地面的两根电线杆的平面示意图如图所示,线段AB和线段CD表示两根电线杆,线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝,AD和BC交于点P.测量得AB = 4米,点P距地面的高度为3米,则CD的长为______米.
　

答案： 12

12.在Rt△ABC中,按如图所示方式放置两个正方形,使得顶点D,E,M,N均在三角形的边上.若AC = 3,BC = 4,则小正方形的边长为______.
　　　

答案： $\frac{30}{31}$

13.(10分)在如图所示的方格纸中,△OAB的顶点坐标分别为$O(0,0),A( - 2, - 1),B( - 1, - 3),△O_{1}A_{1}B_{1}$与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.在图中标出位似中心P的位置,并写出点P及点B的对应点$B_{1}$的坐标.
　　　　

答案：
解：如图，点P即为所求，P(-5,-1)，$B_1(3,-5)$。

14.(14分)如图,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,墙和木板均垂直于地面.手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度DE = 3.5 m,点F到地面的高度CF = 1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC = 5.4 m,墙到木板的水平距离为CD = 4 m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角,图中点A,B,C,D在同一直线上.
(1)求BC的长;
(2)求灯泡到地面的高度AG.
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)由题意，知FC//DE，
∴△BFC∽△BED.
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$，即$\frac{BC}{BC + 4}=\frac{1.5}{3.5}$.
解得BC = 3.
答：BC的长为3 m.
(2)
∵AC = 5.4 m，
∴AB = 5.4 - 3 = 2.4(m).
∵∠GBA = ∠FBC，∠GAB = ∠FCB = 90°，
∴△BGA∽△BFC.
∴$\frac{AG}{CF}=\frac{BA}{BC}$，即$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$，
解得AG = 1.2.
答：灯泡到地面的高度AG为1.2 m.

15.(16分)在图1、图2中,△ABC为直角三角形,且∠ABC = 90°,∠A = 30°,点P在AC上,∠MPN = 90°.
　　　　　 　　
(1)如图1,P为线段AC的中点,点M,N分别在线段AB,BC上,且PM⊥AB,PN⊥BC,则PN和PM的数量关系是PN = ______PM.
(2)如图2,P为线段AC的中点,点M,N分别在线段AB,BC上,求$\frac{PN}{PM}$的值.

答案：

(1)$\sqrt{3}$
(2)解：如图，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，
∴∠EPF = 90°，PE = FB.
∵∠MPN = 90°，

∴∠EPM = ∠FPN.
又
∵∠PEM = ∠PFN = 90°，
∴△PEM∽△PFN.
∴$\frac{PN}{PM}=\frac{PF}{PE}$.
∵P为线段AC的中点，
∴AP = PC.
∵在Rt△PFC中，∠C = 60°，
∴设FC = x，则PC = 2x.由勾股定理，得
PF = $\sqrt{PC^{2}-FC^{2}}=\sqrt{3}x$，
∵△AEP和△PFC为直角三角形，∠A = 30°，
∴PE = $\frac{1}{2}AP$，
又
∵P为AC的中点，
∴PA = PC，
∴PE = FC.
∴$\frac{PN}{PM}=\frac{PF}{PE}=\frac{PF}{FC}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$.