《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

13. (12分)已知反比例函数$y=\frac{m - 8}{x}$($m$为常数，且$m\neq8$).
(1)若函数图象经过点$A(-1,6)$，求$m$的值；
(2)若函数图象在第二、四象限，求$m$的取值范围；
(3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，求$m$的取值范围.

答案： 解：
(1) $\because$函数图象经过点$A(-1,6)$，
$\therefore m - 8 = xy = -1\times 6 = -6$，解得$m = 2$。
(2) $\because$函数图象在第二、四象限，
$\therefore m - 8 ＜ 0$，解得$m ＜ 8$。
(3) $\because$当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 8$。

14. (13分)在大棚中栽培新品种的蘑菇，在$18\ ^{\circ}C$的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培. 某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭，大棚内温度$y(^{\circ}C)$随时间$x(h)$变化的函数图象如图所示，其中$BC$段是函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象的一部分.
(1)求出当$x\geqslant12$时对应的$y$与$x$的函数关系式；
(2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于$12\ ^{\circ}C$，则这天该种蘑菇适宜生长的时间是多长？
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 把$B(12,18)$代入函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$，得$k = 12\times 18 = 216$，
$\therefore$当$x\geqslant 12$时对应的$y$与$x$的函数关系是$y = \frac{216}{x}$。
(2) 设$0\leqslant x\leqslant 2$时，函数的解析式为$y = mx + b$，
将$(0,10)$，$(2,18)$代入上式，得
$\begin{cases}b = 10\\18 = 2m + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\\b = 10\end{cases}$。
则该函数的解析式为$y = 4x + 10(0\leqslant x\leqslant 2)$。
当$4x + 10 = 12$时，解得$x = 0.5$，
当$\frac{216}{x} = 12$时，解得$x = 18$，
则温度不低于$12\ ^{\circ}C$的时间为$18 - 0.5 = 17.5(h)$。
答：这天该种蘑菇适宜生长的时间为$17.5\ h$。

15. (15分)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l:y = kx + 2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$，$B$，与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象相交于点$C$，已知$OA = 1$，点$C$的横坐标为$2$.
(1)求$k$，$m$的值；
(2)平行于$y$轴的动直线与$l$和反比例函数的图象分别交于点$D$，$E$，若以$B$，$D$，$E$，$O$为顶点的四边形为平行四边形，求点$D$的坐标.
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) $\because OA = 1$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$。
把点$A(-1,0)$代入$y = kx + 2$，得
$-k + 2 = 0$，解得$k = 2$。
$\therefore$直线$l$的解析式为$y = 2x + 2$。
$\because$点$C$在直线$l$上，点$C$的横坐标为$2$，
$\therefore$点$C$的纵坐标为$2\times 2 + 2 = 6$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,6)$。
把点$C(2,6)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$m = 2\times 6 = 12$。
(2) 设点$D$的坐标为$(n,2n + 2)$，则点$E$的坐标为$(n,\frac{12}{n})$，
$\therefore DE = \left|2n + 2 - \frac{12}{n}\right|$。
$\because OB// DE$，
$\therefore$当$OB = DE$时，以$B$，$D$，$E$，$O$为顶点的四边形为平行四边形。
$\because$直线$y = 2x + 2$与$y$轴交于点$B$，$\therefore OB = 2$。
$\therefore \left|2n + 2 - \frac{12}{n}\right| = 2$。
当$2n + 2 - \frac{12}{n} = 2$时，解得$n_1 = \sqrt{6}$，$n_2 = -\sqrt{6}$(舍去)，
此时，点$D$的坐标为$(\sqrt{6},2\sqrt{6} + 2)$。
当$2n + 2 - \frac{12}{n} = -2$时，解得$n_1 = \sqrt{7} - 1$，$n_2 = -\sqrt{7} - 1$(舍去)，
此时，点$D$的坐标为$(\sqrt{7} - 1,2\sqrt{7})$。
综上所述，以$B$，$D$，$E$，$O$为顶点的四边形为平行四边形时，点$D$的坐标为$(\sqrt{6},2\sqrt{6} + 2)$或$(\sqrt{7} - 1,2\sqrt{7})$。