《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

13. (7分)计算：tan45°sin²60° - 4sin30°cos45° + $\sqrt{6}$tan30°.

答案： 解:原式=1×$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$ - 4×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{4}$ - $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$=$\frac{3}{4}$

14. (10分)在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对应的边长分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：
(1)已知c = 20，∠A = 60°；
(2)已知a = $\sqrt{15}$，b = $\sqrt{5}$.

答案： 解:
(1)
∵∠A = 60°，∠C为直角，
∴∠B = 90° - 60° = 30°.
∵c = 20，∠B = 30°，
∴b = $\frac{c}{2}$ = 10，a = $\sqrt{20^{2} - 10^{2}}$ = 10$\sqrt{3}$
(2)
∵∠C为直角，a = $\sqrt{15}$，b = $\sqrt{5}$，
∴c = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ = $\sqrt{15 + 5}$ = 2$\sqrt{5}$
∴sinB = $\frac{b}{c}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{1}{2}$
∴∠B = 30°.
∴∠A = 90° - 30° = 60°.

15. (11分)如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在BC上，BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = $\frac{3}{5}$.
(1)求CD的长；
(2)求tanB的值.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)在Rt△ACD中，cos∠ADC = $\frac{CD}{AD}$ = $\frac{3}{5}$.
∴设CD = 3x，AD = BC = 5x，根据勾股定理，得AC = $\sqrt{AD^{2} - CD^{2}}$ = 4x.
∵BD = 4，
∴5x - 3x = 4，解得x = 2.
∴CD = 3x = 6.
(2)在Rt△ABC中，AC = 4x = 8，BC = 5x = 10，
∴tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$.

16. (12分)如图，AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上两点，且点C为$\overset{\frown}{BF}$的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，tanD = $\frac{3}{4}$，求AE的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明:如图，连接OC.
∵点C为$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{CF}$.
∴∠BAC = ∠FAC.
∵OA = OC，
∴∠OCA = ∠BAC.
∴∠OCA = ∠FAC.
∴OC//AE.
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE.又
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△OCD中，
∵tanD = $\frac{OC}{CD}$ = $\frac{3}{4}$，OC = 3，
∴CD = 4.
∴OD = $\sqrt{OC^{2} + CD^{2}}$ = 5.
∴AD = OD + AO = 8.在Rt△ADE中，
∵sinD = $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{OC}{OD}$ = $\frac{3}{5}$，
∴AE = $\frac{24}{5}$.