《2025年随堂小考七年级数学下册北师大版》

8. 如图，∠A = ∠B = 90°，AB = 100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点. 若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2 : 3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为_______.

答案： 40或75

9.(7分)如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB = AC = a，∠A = ∠α.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和说明)

答案：
解：作图如图所示.

10.(9分)如图，在△ABC中，AB = AC，D是边BC的延长线上一点，连接AD，过点A作AE = AD，且∠DAE = ∠BAC，连接CE交AD于点F.
(1)试说明△ABD≌△ACE；
(2)若∠FCD = 34°，则∠B的度数为_______.

答案： 解：
(1)因为∠DAE = ∠BAC，
所以∠DAE + ∠DAC = ∠BAC + ∠DAC，即∠EAC = ∠DAB.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB = AC,\\\angle DAB = \angle EAC,\\AD = AE,\end{cases}$
所以△ABD≌△ACE (SAS).
(2)由
(1)，知∠B = ∠ACE.
取BC的中点P，连接AP. 易证△ABP≌△ACP，
所以∠B = ∠ACB. 所以∠ACB = ∠ACE = ∠B.
因为∠ACB + ∠ACE + ∠FCD = 180°，
所以2∠B + 34° = 180°.
所以∠B = 73°.
故答案为73°.

11.(10分)如图，A，F，C，D四点在同一条直线上，AF = CD，AB//DE，且AB = DE.
(1)试判断△ABC和△DEF是否全等，并说明理由；
(2)试判断∠CBF和∠FEC的数量关系，并说明理由.

答案： 解：
(1)△ABC≌△DEF. 理由如下：
因为AF = CD，
所以AF + CF = CD + CF，即AC = DF.
因为AB//DE，所以∠A = ∠D.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB = DE,\\\angle A = \angle D,\\AC = DF,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF (SAS).
(2)∠CBF = ∠FEC. 理由如下：
由
(1)，知△ABC≌△DEF，
所以BC = EF，∠ACB = ∠DFE.
在△BCF和△EFC中，$\begin{cases}BC = EF,\\\angle FCB = \angle CFE,\\CF = FC,\end{cases}$
所以△BCF≌△EFC (SAS).
所以∠CBF = ∠FEC.