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2. 如图10,△ABC的三个顶点都在⊙O上,AP⊥BC于P,AM为⊙O的直径. 求证:∠BAM= ∠CAP.
答案：
证明：连接BM，
∵AM是⊙O的直径
∴∠ABM=90°
∵AP⊥BC
∴∠APC=90°
∵∠AMB和∠ACB都是$\widehat{AB}$所对圆周角
∴∠AMB=∠ACB
∴90°-∠AMB=90°-∠ACB，即∠BAM=∠CAP
∵AM是⊙O的直径
∴∠ABM=90°
∵AP⊥BC
∴∠APC=90°
∵∠AMB和∠ACB都是$\widehat{AB}$所对圆周角
∴∠AMB=∠ACB
∴90°-∠AMB=90°-∠ACB，即∠BAM=∠CAP
3. 已知等腰三角形ABC内接于半径为6 cm的⊙O,AB= AC,点O到BC的距离OD的长等于2 cm.求AB的长.
答案：
解：①如图， 连接AD，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴根据等腰三角形的性质(三线合一定理)得出，AO⊥BC，AO平分BC，
∵OD⊥BC，
∴根据垂直定理得：OD平分BC， 即A、O、D三点共线，
∴AO过D，
∵等腰△ABC内接于半径为$6\ \mathrm {cm}$的⊙O，
∴$OA=6\ \mathrm {cm}，$BD=DC，AD⊥BC，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}(\ \mathrm {cm})，$
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(6+2)^2+(4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{6}(\ \mathrm {cm})，$
②如图： 同法求出$BD=4\sqrt{2}\ \mathrm {cm}，$$AD=6\ \mathrm {cm}-2\ \mathrm {cm}=4\ \mathrm {cm}，$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=4\sqrt{3}(\ \mathrm {cm})，$
答：AB的长是$4\sqrt{6}\ \mathrm {cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
解：①如图， 连接AD，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴根据等腰三角形的性质(三线合一定理)得出，AO⊥BC，AO平分BC，
∵OD⊥BC，
∴根据垂直定理得：OD平分BC， 即A、O、D三点共线，
∴AO过D，
∵等腰△ABC内接于半径为$6\ \mathrm {cm}$的⊙O，
∴$OA=6\ \mathrm {cm}，$BD=DC，AD⊥BC，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}(\ \mathrm {cm})，$
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(6+2)^2+(4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{6}(\ \mathrm {cm})，$
②如图： 同法求出$BD=4\sqrt{2}\ \mathrm {cm}，$$AD=6\ \mathrm {cm}-2\ \mathrm {cm}=4\ \mathrm {cm}，$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=4\sqrt{3}(\ \mathrm {cm})，$
答：AB的长是$4\sqrt{6}\ \mathrm {cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
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