《2024年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

3. 如图11,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,E是AC上一点,过点A作AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于点F. 求证:OE= OF.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB
∵∠AGE=90°

∴∠BEA+∠EAG=∠AFO+∠EAG=90°
∴∠BEA=∠AFO
故可以以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，使Rt△OAF重合于Rt△OBE
∴OE=OF(也可以利用三角形全等证明)

4. 如图12,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN= 45°,把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证:△AEM≌△ANM;
(2)若BM= 3,DN= 2,求正方形ABCD的边长.

答案：
(1)证明：由旋转的性质得：AE=AN，∠BAE=∠DNA
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°
∴∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠MAE=∠EAN-∠MAN=90°-45°=45°
在△AEM和△ANM中，
$ {{\begin{cases} { {AE=AN}} \\{∠MAE=∠MAN=45°} \\ {AM=AM} \end{cases}}}$
∴$△AEM≌△ANM(\mathrm {SAS})$
(2)设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x
∵BM=3，DN=2
∴CM=BC-BM=x-3，CN=CD-DN=x-2
由旋转的性质得：BE=DN=2
∴ME=BE+BM=2+3=5
由
(1)已证：△AEM≌△ANM
∴ME=MN=5
又
∵四边形ABCD是正方形
∴∠C=90°
则在Rt△CMN中，{CM}^{2}+{CN}^{2}={MN}^{2}
即{(x-3)}^{2}+{(x-2)}^{2}={5}^{2}
解得x=6或x=-1(不合题意，舍去)
∴正方形ABCD的边长为6