人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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4. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E，F，G分别为边AB，AC，BC的中点，P为线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
答案：因为E，F，G分别为边AB，AC，BC的中点，所以EF\parallel BC，点B关于EF的对称点是点A，连接AG，则AG的长就是BP + GP的最小值。又因为等边三角形ABC边长为6，G是BC中点，所以AG\perp BC，BG = 3，根据勾股定理可得AG = \sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}，\triangle BPG的周长最小值为BP + GP+BG=AG + BG=3\sqrt{3}+3\approx3\times1.732 + 3=8.196\approx9，答案选D。
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，AC = 5，BD = 3，AD = 4，那么BE + EF的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. \frac{24}{5} D. 6
答案：因为AB = AC，AD是高，所以点C是点B关于AD的对称点，过点C作CF\perp AB于点F，此时BE + EF的最小值就是CF的长。根据三角形面积公式S = \frac{1}{2}AB\cdot CF=\frac{1}{2}BC\cdot AD，BC = 2BD = 6，AB = 5，AD = 4，可得\frac{1}{2}\times5\cdot CF=\frac{1}{2}\times6\times4，解得CF = \frac{24}{5}，答案选C。
6. 如图，在Rt\triangle ABC中，\angle ACB = 90^{\circ}，AC = 6，BC = 8，AB = 10，BD平分\angle ABC. 若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM + MN的最小值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4
答案：过点C作CE\perp AB于点E，交BD于点M，过点M作MN\perp BC于点N，因为BD平分\angle ABC，CE\perp AB，MN\perp BC，所以MN = ME，此时CM + MN = CM+ME = CE，根据三角形面积公式S = \frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE，可得\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\cdot CE，解得CE = 4.8，答案选C。
7. 如图，在Rt\triangle ABC中，\angle ACB = 90^{\circ}，AC = 12，BC = 16，AB = 20，AD是\angle BAC的平分线. 若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC + PQ的最小值是（ ）
A. 4.8 B. 8 C. 9.6 D. 10
答案：过点C作CQ\perp AB于点Q，交AD于点P，因为AD是\angle BAC的平分线，PC\perp AC，PQ\perp AB，所以PC = PQ，此时PC + PQ = CQ，根据三角形面积公式S = \frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CQ，可得\frac{1}{2}\times12\times16=\frac{1}{2}\times20\cdot CQ，解得CQ = 9.6，答案选C。
8. 如图，在\triangle ABC中，AD是\triangle ABC的角平分线，E，F分别是AD，AB上的动点，\angle BAC = 50^{\circ}. 当BE + EF的值最小时，\angle AEB =（ ）
A. 110^{\circ} B. 115^{\circ} C. 120^{\circ} D. 130^{\circ}
答案：作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，B'F，当B'，E，F共线且B'F\perp AB时，BE + EF的值最小。因为AD是角平分线，所以\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 25^{\circ}，由对称可知\angle B'AD = \angle BAD = 25^{\circ}，所以\angle BAB' = 50^{\circ}，在Rt\triangle AB'F中，\angle AB'F = 40^{\circ}，在\triangle AB'E中，\angle B'AE = 25^{\circ}，所以\angle AEB'=180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}，即\angle AEB = 115^{\circ}，答案选B。
