人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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7.【阅读材料】如图（1），在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$P$为底边$BC$上一点，点$P$到两腰的距离分别为$r_1$，$r_2$，腰上的高为$h$，连接$AP$，则$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}$，即$\frac{1}{2}AB\cdot r_1 + \frac{1}{2}AC\cdot r_2=\frac{1}{2}AB\cdot h$，所以$r_1 + r_2 = h$（定值），即$PE + PF$为定值。
（1）【深入探究】将“如图（1），在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$P$为底边$BC$上一点”改成“如图（2），$P$为等边三角形$ABC$内一点”，作$PE\perp AB$，$PF\perp AC$，$PM\perp BC$，$BG\perp AC$，垂足分别为$E$，$F$，$M$，$G$，有类似结论吗？请写出结论并证明。
（2）【理解与应用】如图（3），当点$P$在$\triangle ABC$的外部时，（1）中结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，$PE$，$PF$，$PM$和$BG$之间又有怎样的关系，并说明理由。
答案：（1）结论：$PE + PF+PM = BG$。
证明：连接$PA$，$PB$，$PC$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$，
设等边三角形$ABC$的边长为$a$。
则$\frac{1}{2}a\cdot BG=\frac{1}{2}a\cdot PE + \frac{1}{2}a\cdot PF+\frac{1}{2}a\cdot PM$，
两边同时除以$\frac{1}{2}a$，可得$PE + PF + PM=BG$。
（2）结论不成立，关系为$PE + PF - PM=BG$。
证明：连接$PA$，$PB$，$PC$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}-S_{\triangle PBC}$，
设等边三角形$ABC$的边长为$a$。
则$\frac{1}{2}a\cdot BG=\frac{1}{2}a\cdot PE + \frac{1}{2}a\cdot PF-\frac{1}{2}a\cdot PM$，
两边同时除以$\frac{1}{2}a$，可得$PE + PF - PM = BG$。
